schwache Konvergenz; Normal-V < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen.
Der zentrale Grenzwertsatz besagt ja, dass für reelle u.i.v. Zufallsvariablen [mm]X_1,X_2,\ldots[/mm] mit endlichem Erwartungswert [mm]\mu[/mm] und endlicher Varianz [mm]\sigma^2[/mm] die normierte Summe
[mm]\bruch{ \summe_{i=1}^{n}X_i - n \mu}{\wurzel{\sigma^2 n}}[/mm] schwach gegen die Standardnormalverteilung konvergiert.
Kann ich dann auch direkt sagen, dass [mm]\summe_{i=1}^{n}X_i[/mm] schwach gegen [mm]N\left ( n\mu,n\sigma^2 \right )[/mm] konvergiert?
Gibt es einen Satz, der dies besagt oder aus dem dies folgt?
Sind z.B. die [mm]X_i[/mm] u.i. Bernoulli-verteilt mit Parameter p. Dann folgt doch, dass [mm]\summe_{i=1}^{n}X_i[/mm] [mm]B(n,p)[/mm]-verteilt ist (Binomial-verteilt mit Parametern n und p ).
Gilt dann, dass [mm]B(n,p)[/mm] schwach gegen [mm]N\left ( np,np(1-p) )[/mm] konvergiert?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Mo 09.07.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin lustiger-Lurch,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Kann ich dann auch direkt sagen, dass [mm]\summe_{i=1}^{n}X_i[/mm]
> schwach gegen [mm]N\left ( n\mu,n\sigma^2 \right )[/mm]
> konvergiert?
>
>
Nein, kannst du nicht. Was passiert denn mit der [mm]N\left ( n\mu,n\sigma^2 \right )[/mm]-Verteilung fuer [mm] $n\to\infty$? [/mm] Ist das eine Verteilung mit [mm] $\operatorname{E}[X]=\infty=\operatorname{Var}[X]$?
[/mm]
Was du sagen ist, dass [mm]\summe_{i=1}^{n}X_i[/mm] *approximativ* normalverteilt ist. Das gilt insbesondere fuer die Binomialverteilung.
vg Luis
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