schwieriges Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \int\frac{(x-1)^{n-1}}{(x+1)^{n+1}} \; [/mm] dx |
Hallo,
ich würde gerne wissen wie ich das obige Integral analytisch lösen kann.
Der PC liefert das Ergebnis [mm] \frac{1}{2n}\frac{(x-1)^n}{(x+1)^n}, [/mm] jedoch sehe ich nicht wie man per Hand darauf kommt.
Danke, viele Grüße
Patrick
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hallo,
das erste was mir in den Sinn kommt ist es mal für ein paar werte von n zu integrieren. Daraus kannst du recht schnell erkennen, was das zugrundeliegende Muster ist. Das könntest du dann per Induktion beweisen.
Die andere Möglichkeit wäre partielle Integration, ich habe jetzt nicht genug zeit da genau drüber zu gehen. Ich setze die frage mal auf teilweise beantwortet.
LG
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Hm,
die Substitution $z=x+1$ in Zusammenhang mit dem binomischen Satz sollte auch zum Ziel führen 
MFG,
Gono.
PS: Für weitere Idee nur halb beantwortet.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:16 Mi 09.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
da ich mir nicht ganz sicher bin, ob Gonozal das gleiche oder doch etwas anderes gemeint hat:
$$\red{\text{Edit: fehlerbehaftet:}}\frac{(x-1)^{n-1}}{(x+1)^{n+1}}=\left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{\red{n+1}}*\frac{1}{(x+1)^2}=\sum_{k=0}^{\red{n+1}} {\red{n+1} \choose k}(-2)^k*\frac{1}{(x+1)^{k+2}}\,.$$
$$\blue{\text{Edit: korrigiert:}}\frac{(x-1)^{n-1}}{(x+1)^{n+1}}=\left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{\blue{n-1}}*\frac{1}{(x+1)^2}=\sum_{k=0}^{\blue{n-1}} {\blue{n-1} \choose k}(-2)^k*\frac{1}{(x+1)^{k+2}}\,.$$
Hier steht eine Summe von endlich vielen Funktionen ($\blue{n-1+1=n\,$ Stück), so dass Du, wenn Du das Integral drüber ziehst, insbesondere Summation und Integration bedenkenlos vertauschen darfst. Und $\int \frac{1}{(x+1)^{k+2}}dx$ zu berechnen ist nicht sehr schwer.
Ich glaube allerdings, dass es auch dann noch nicht direkt offensichtlich ist, dass das so errechnete mit $(x-1)^n/[2n*(x+1)^n]$ (evtl. bis auf eine additive Konstante) übereinstimmt.
Wenn man übrigens gar keine Idee hat, hilft es manchmal auch, die behauptete Stammfunktion abzuleiten (evtl. schreibt man sie vorher besser in ein Produkt um). Dann sieht man meist auch, welcher Weg bei "direkter Integration" wohl zielführend wäre.
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo zusammen,
zunächst: Marcel deine Summe sollte doch nur bis (n-1) laufen oder?
Ich habe nun bisher also mit der Substitution z=x+1 folgendes:
[mm] \left(\frac{z-2}{z}\right)^{n-1}\frac{1}{z^2}= \left(1-\frac{2}{z}\right)^{n-1}\frac{1}{z^2}=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(-2)^k\frac{1}{z^{k+2}}
[/mm]
Integriere ich dies nun erhalte ich:
[mm] \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(-2)^k\frac{-1}{(k+1)z^{k+1}}
[/mm]
Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß wie ich dies nun wie umschreiben kann, da ja das (k+1) im Zähler steht und so die Struktur des binomischen Satzes nicht mehr gegeben ist....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
>
> zunächst: Marcel deine Summe sollte doch nur bis (n-1)
> laufen oder?
ja, ich hatte mich ein wenig verrechnet und hatte auf meinem Blatt [mm] $x+1-2=x+1\,$ [/mm] im Zähler gerechnet, anstatt [mm] $x+1-2=x-1\,.$ [/mm] Schön, dass Du so gut mitdenkst und Dir das aufgefallen ist
> Ich habe nun bisher also mit der Substitution z=x+1
> folgendes:
>
>
> [mm]\left(\frac{z-2}{z}\right)^{n-1}\frac{1}{z^2}= \left(1-\frac{2}{z}\right)^{n-1}\frac{1}{z^2}=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(-2)^k\frac{1}{z^{k+2}}[/mm]
>
> Integriere ich dies nun erhalte ich:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(-2)^k\frac{-1}{(k+1)z^{k+1}}[/mm]
>
>
> Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß wie ich dies nun
> wie umschreiben kann, da ja das (k+1) im Zähler steht und
> so die Struktur des binomischen Satzes nicht mehr gegeben
> ist....
Naja: Eine Alternative bei der Induktion, wenn man eine Gleichung für den Index [mm] $\,n+1$ [/mm] aus der Gleichung mit Index [mm] $n\,$ [/mm] folgern soll, ist ja, einfach mal so dreist zu sein, und einfach zu behaupten, dass die Gleichheit gilt. Dann kann man evtl. so lange Äquivalenzumformungen machen, bis man zu einer anderen Gleichung kommt, die vielleicht einfacher zu beweisen ist (denn durch Lesen der [mm] $\Leftarrow$-Pfeile [/mm] bei den [mm] $\gdw$-Umformungen [/mm] gelangt man dann ja zu der eigentlich zu zeigenden Gleichung). Ob das hier klappt, weiß ich leider nicht. Aber Du kannst es ja mal ausprobieren.
Damit es ein wenig klarer wird, was ich meine, mache ich vielleicht mal ein einfaches Beispiel. Dann erkennst Du das Prinzip, wie man hier auch strategisch vorgehen könnte:
Wir betrachten die allseits bekannte Gleichung [mm] $\sum_{k=1}^n k=(n+1)*n/2\,.$
[/mm]
Im Induktionsschritt wäre eigentlich zu zeigen:
Wenn man weiß, dass [mm] $\sum_{k=1}^n k=(n+1)*n/2\,,$ [/mm] so kann man daraus folgern, dass [mm] $\sum_{k=1}^{n+1} k=(n+2)*(n+1)/2\,.$
[/mm]
Wir bauen den Induktionsschritt mal anders auf: Es gilt
[mm] $$\sum_{k=1}^{n+1} [/mm] k=(n+2)*(n+1)/2$$
[mm] $$\gdw \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)+(n+1)=(n+2)*(n+1)/2$$
[/mm]
Jetzt siehst Du hier, dass wegen der I.A. gilt:
[mm] $$\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)+(n+1)=(n+2)*(n+1)/2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \frac{(n+1)*n}{2}+(n+1)=(n+2)*(n+1)/2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \frac{(n+1)*n}{2}=\frac{(n+1)^2-(n+1)}{2}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw n^2+n=n^2+2n+1-n-1\,.$$
[/mm]
Da hier überall [mm] $\gdw$-Zeichen [/mm] stehen und [mm] $n^2+n=n^2+2n+1-n-1$ [/mm] für jedes [mm] $n\,$ [/mm] offensichtlich ist, erkennen wir also, dass wir den Indutkionsschritt durch Lesen von unten nach oben unter Benutzung der [mm] $\Leftarrow$-Folgerungen [/mm] erhalten (beachte auch, dass dabei die I.V. benutzt wurde).
Mit anderen Worten: Da wir mithilfe der I.V. gezeigt haben, dass die nun zu zeigende Gleichung äquivalent zu der einfachen Gleichung [mm] $n^2+n=n^2+2n+1-n-1$ [/mm] ist, reicht es oben, diese zu beweisen. Ausrechnen von [mm] $n^2+2n+1-n-1=n^2+2n-n=n^2+n$ [/mm] zeigt aber, dass diese trivial ist.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Fr 11.06.2010 | | Autor: | gfm |
> [mm]\int\frac{(x-1)^{n-1}}{(x+1)^{n+1}} \;[/mm] dx
> Hallo,
>
> ich würde gerne wissen wie ich das obige Integral
> analytisch lösen kann.
> Der PC liefert das Ergebnis
> [mm]\frac{1}{2n}\frac{(x-1)^n}{(x+1)^n},[/mm] jedoch sehe ich nicht
> wie man per Hand darauf kommt.
>
> Danke, viele Grüße
> Patrick
Nimm mal [mm] z=\frac{x-1}{x+1}. [/mm] Das sollte auf [mm]1/2 z^{n-1}dz[/mm] führen...
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Fr 11.06.2010 | | Autor: | XPatrickX |
Jup, das funktioniert!
Vielen Dank.
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