selbstadj. endomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:17 Fr 11.06.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Sei V endlichdimensional und unitär mit Skalarprodukt <...,...> , sei [mm] \varphi [/mm] ein Endomorphismus von V.
[mm] W(\varphi):=\{<\varphi(v),v>|||v||=1\}
[/mm]
Zeige; [mm] W(\varphi) [/mm] enthält alle Eigenwerte und es gilt:
[mm] \varphi [/mm] ist selbstadjugiert [mm] \gdw W(\varphi) [/mm] enthält nur reelle Zahlen. |
Haidiho!
Ich muss noch zeigen, dass [mm] W(\varphi)\subset\IR \Rightarrow \varphi [/mm] selbstadjungiert
Klar ist ja, dass alle EW reell sind, also könnte man zeigen, dass es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren gibt...
Bloß wie stelle ich das an?
Oder man nimmt sich eine beliebige Orthonormalbasis und zeigt, dass die Darstellungsmatrix dazu hermitesch ist...
Da krieg ich aber auch nur hin, dass die Diagonaleinträge offensichtlich reell sind, warum gilt aber sonst [mm] a_{i,j}=\overline{a_{j,i}}?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:08 Fr 11.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei V endlichdimensional und unitär mit Skalarprodukt
> <...,...> , sei [mm]\varphi[/mm] ein Endomorphismus von V.
> [mm]W(\varphi):=\{<\varphi(v),v>|||v||=1\}[/mm]
> Zeige; [mm]W(\varphi)[/mm] enthält alle Eigenwerte und es gilt:
> [mm]\varphi[/mm] ist selbstadjugiert [mm]\gdw W(\varphi)[/mm] enthält nur
> reelle Zahlen.
> Haidiho!
>
> Ich muss noch zeigen, dass [mm]W(\varphi)\subset\IR \Rightarrow \varphi[/mm]
> selbstadjungiert
zeige zunächst:
[mm] $<\varphi(v),v>= [/mm] <v, [mm] \varphi^{\*}(v)>$ [/mm] für jedes v in V
Mit der Polarisationsgleichung erhälst Du daraus
[mm] $<\varphi(v),w>= [/mm] <v, [mm] \varphi^{\*}(w)>$ [/mm] füralle v, w in V
FRED
>
> Klar ist ja, dass alle EW reell sind, also könnte man
> zeigen, dass es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
> gibt...
> Bloß wie stelle ich das an?
>
> Oder man nimmt sich eine beliebige Orthonormalbasis und
> zeigt, dass die Darstellungsmatrix dazu hermitesch ist...
> Da krieg ich aber auch nur hin, dass die Diagonaleinträge
> offensichtlich reell sind, warum gilt aber sonst
> [mm]a_{i,j}=\overline{a_{j,i}}?[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Fr 11.06.2010 | | Autor: | icarus89 |
>
>
> zeige zunächst:
>
> [mm]<\varphi(v),v>= [/mm] für jedes v in V
Ist [mm] \varphi^{\*} [/mm] die adjungierte Abbildung? Dann ist das doch schon klar nach der Definition der adjungierten oder nicht?
> Mit der Polarisationsgleichung erhälst Du daraus
>
> [mm]<\varphi(v),w>= [/mm] füralle v, w in V
>
Erstens: Was ist denn die Polarisationsgleichung???
Zweitens: Ist das nicht gerade die Definition der adjungierten Abbildung? Wie folgt daraus [mm] \varphi^{\*}=\varphi?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Fr 11.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > zeige zunächst:
> >
> > [mm]<\varphi(v),v>= [/mm] für jedes v in V
>
> Ist [mm]\varphi^{\*}[/mm] die adjungierte Abbildung? Dann ist das
> doch schon klar nach der Definition der adjungierten oder
> nicht?
Ja, das ist die Definition. Ich vermute, Fred meint [mm] $\langle \varphi(v), [/mm] v [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle \varphi^\ast(v), [/mm] v [mm] \rangle$.
[/mm]
> > Mit der Polarisationsgleichung erhälst Du daraus
> >
> > [mm]<\varphi(v),w>= [/mm] füralle v, w in V
>
> Erstens: Was ist denn die Polarisationsgleichung???
Normalerweise versteht man darunter [mm] $\langle [/mm] v, w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \frac{1}{4} (\| [/mm] v + w [mm] \|^2 [/mm] - [mm] \| [/mm] v - w [mm] \|^2) [/mm] + [mm] \frac{i}{4} (\| [/mm] v + i w [mm] \|^2 [/mm] - [mm] \| [/mm] v - i w [mm] \|^2)$.
[/mm]
> Zweitens: Ist das nicht gerade die Definition der
> adjungierten Abbildung? Wie folgt daraus
> [mm]\varphi^{\*}=\varphi?[/mm]
Auch hier meint Fred wohl [mm] $\langle \varphi(v), [/mm] w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle \varphi^\ast(v), [/mm] w [mm] \rangle$. [/mm] Daraus wiederum (durch geschickte Wahl von $w$) folgt [mm] $\varphi(v) [/mm] = [mm] \varphi^\ast(v)$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 So 13.06.2010 | | Autor: | icarus89 |
> Hallo!
>
>
> Ja, das ist die Definition. Ich vermute, Fred meint [mm]\langle \varphi(v), v \rangle = \langle \varphi^\ast(v), v \rangle[/mm].
>
> Normalerweise versteht man darunter [mm]\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2) + \frac{i}{4} (\| v + i w \|^2 - \| v - i w \|^2)[/mm].
>
>
> Auch hier meint Fred wohl [mm]\langle \varphi(v), w \rangle = \langle \varphi^\ast(v), w \rangle[/mm].
> Daraus wiederum (durch geschickte Wahl von [mm]w[/mm]) folgt
> [mm]\varphi(v) = \varphi^\ast(v)[/mm].
>
> LG Felix
>
Okay, das erste krieg ich vielleicht noch gezeigt:
[mm] <\varphi^{*}(v),v>==\overline{<\varphi(v),v>}=<\varphi(v),v>
[/mm]
Aber der Rest? Soll man die Gleichung anwenden auf [mm] <\varphi(v),w> [/mm] und [mm] <\varphi^{*}(v),w> [/mm] und zeigen, dass das gleich ist? Mir ist aber nicht klar, wie sich das dann umformen lässt, das man das sehen könnte...
Und durch welches w folgt dann die Selbstadjungiertheit???
Irgendwie kann ich diesen Weg nicht wirklich verstehen...
Kann man nicht auch irgendwie mit Kontraposition arbeiten, zeigen, dass [mm] W(\varphi) [/mm] nichtreelle Elemente hat, wenn [mm] \varphi [/mm] nicht selbstadjungiert ist.
Also: Angenommen [mm] \varphi [/mm] hat nur reelle Eigenwerte (sonst ists ja klar) und [mm] \varphi [/mm] ist nicht selbstadjungiert, dann gibts keine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
Kann man sich jetzt eine Orthonormalbasis nehmen mit möglichst vielen Eigenvektoren und zeigen, dass die Existenz einer Nichteigenvektorbasisvektors in dieser Basis impliziert, dass ein [mm] v\in [/mm] V existiert, sodass [mm] <\varphi(v),v> [/mm] nicht reell ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 So 13.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Ja, das ist die Definition. Ich vermute, Fred meint [mm]\langle \varphi(v), v \rangle = \langle \varphi^\ast(v), v \rangle[/mm].
>
> >
> > Normalerweise versteht man darunter [mm]\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2) + \frac{i}{4} (\| v + i w \|^2 - \| v - i w \|^2)[/mm].
>
> >
> >
> > Auch hier meint Fred wohl [mm]\langle \varphi(v), w \rangle = \langle \varphi^\ast(v), w \rangle[/mm].
> > Daraus wiederum (durch geschickte Wahl von [mm]w[/mm]) folgt
> > [mm]\varphi(v) = \varphi^\ast(v)[/mm].
> >
> > LG Felix
> >
>
> Okay, das erste krieg ich vielleicht noch gezeigt:
>
> [mm]<\varphi^{*}(v),v>==\overline{<\varphi(v),v>}=<\varphi(v),v>[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber der Rest? Soll man die Gleichung anwenden auf
> [mm]<\varphi(v),w>[/mm] und [mm]<\varphi^{*}(v),w>[/mm] und zeigen, dass das
> gleich ist? Mir ist aber nicht klar, wie sich das dann
> umformen lässt, das man das sehen könnte...
Du hast doch [mm] $\langle \varphi(v) [/mm] - [mm] \varphi^\ast(v), [/mm] v [mm] \rangle [/mm] = 0$ fuer alle $v$. Benutze jetzt die Polarisationsgleichung, um zu zeigen, dass [mm] $\langle \varphi(v) [/mm] - [mm] \varphi^\ast(v), [/mm] w [mm] \rangle [/mm] = 0$ ist fuer alle $v, w$.
> Und durch welches w folgt dann die Selbstadjungiertheit???
Wenn du weisst, dass [mm] $\langle [/mm] a, b [mm] \rangle [/mm] = 0$ ist fuer alle $b$, dann setze doch $b = a$ ein -- dann folgt sofort, dass $a = 0$ sein muss.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 13.06.2010 | | Autor: | icarus89 |
> Du hast doch [mm]\langle \varphi(v) - \varphi^\ast(v), v \rangle = 0[/mm]
> fuer alle [mm]v[/mm]. Benutze jetzt die Polarisationsgleichung, um
> zu zeigen, dass [mm]\langle \varphi(v) - \varphi^\ast(v), w \rangle = 0[/mm]
> ist fuer alle [mm]v, w[/mm].
Irgendwie kann ich immer noch nicht erkennen wie das mit Hilfe dieser Gleichung folgen sollte...
Da kommt doch erstmal überhaupt kein w vor...
$ [mm] \langle \varphi(v) [/mm] - [mm] \varphi^\ast(v), [/mm] v [mm] \rangle [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*(||\varphi(v)-\varphi^\ast(v)+v||^{2}+||\varphi(v)-\varphi^\ast(v)-v||^{2})+\bruch{i}{4}*(||\varphi(v)-\varphi^\ast(v)+i*v||^{2}+||\varphi(v)-\varphi^\ast(v)-i*v||^{2})=0 [/mm] $
Das einzige was ich daraus folgern kann ist doch
[mm] ||\varphi(v)-\varphi^\ast(v)+v||=||\varphi(v)-\varphi^\ast(v)-v||
[/mm]
[mm] ||\varphi(v)-\varphi^\ast(v)+i*v||=||\varphi(v)-\varphi^\ast(v)-i*v||
[/mm]
Aber sonst???
Kann man auch irgendwie anders zeigen, dass
$ [mm] \langle \varphi(v) [/mm] - [mm] \varphi^\ast(v), [/mm] w [mm] \rangle [/mm] = 0 $
Immerhin hatten wir diese Gleichung nicht.
> > Und durch welches w folgt dann die Selbstadjungiertheit???
>
> Wenn du weisst, dass [mm]\langle a, b \rangle = 0[/mm] ist fuer alle
> [mm]b[/mm], dann setze doch [mm]b = a[/mm] ein -- dann folgt sofort, dass [mm]a = 0[/mm]
> sein muss.
Okay, das versteh ich jetzt sogar^^
Bleibt nur dieser eine Schritt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 So 13.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Du kannst es auch direkt zeigen. Identifiziere $V$ mit [mm] $\IC^n$ [/mm] und sei $A$ die zu [mm] $\varphi [/mm] - [mm] \varphi^\ast$ [/mm] gehoerige Matrix; dann hast du also [mm] $\langle [/mm] A v, v [mm] \rangle [/mm] = 0$ fuer alle $v [mm] \in \IC^n$, [/mm] und willst $A = 0$ zeigen.
Beachte jetzt, dass [mm] $\langle [/mm] A v, v [mm] \rangle [/mm] = (A [mm] v)^T \overline{v} [/mm] = [mm] v^T A^T \overline{v}$ [/mm] ist. Sei [mm] $A^T [/mm] = [mm] (a_{ij})_{ij}$.
[/mm]
Wenn du die Standardeinheitsvektoren [mm] $e_i$ [/mm] fuer $v$ einsetzt, bekommst du [mm] $a_{ii} [/mm] = 0$ fuer alle $i$.
Was passiert, wenn du z.B. $v = [mm] e_i [/mm] + [mm] \lambda e_j$ [/mm] einsetzt? Was ist dann [mm] $v^T A^T \overline{v}$? [/mm] Kanst du jetzt $i, j, [mm] \lambda$ [/mm] so waehlen, dass du weiterkommst?
(Beachte auch, dass $A$ nicht irgendeine Matrix ist, sondern von der Form $B + [mm] \overline{B}^T$; [/mm] es kann sein dass du das brauchst.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:11 Mo 14.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> > > zeige zunächst:
> > >
> > > [mm]<\varphi(v),v>= [/mm] für jedes v in V
> >
> > Ist [mm]\varphi^{\*}[/mm] die adjungierte Abbildung? Dann ist das
> > doch schon klar nach der Definition der adjungierten oder
> > nicht?
>
> Ja, das ist die Definition. Ich vermute, Fred meint [mm]\langle \varphi(v), v \rangle = \langle \varphi^\ast(v), v \rangle[/mm].
Au backe, ja das meinte ich.
>
> > > Mit der Polarisationsgleichung erhälst Du daraus
> > >
> > > [mm]<\varphi(v),w>= [/mm] füralle v, w in V
> >
> > Erstens: Was ist denn die Polarisationsgleichung???
>
> Normalerweise versteht man darunter [mm]\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2) + \frac{i}{4} (\| v + i w \|^2 - \| v - i w \|^2)[/mm].
>
> > Zweitens: Ist das nicht gerade die Definition der
> > adjungierten Abbildung? Wie folgt daraus
> > [mm]\varphi^{\*}=\varphi?[/mm]
>
> Auch hier meint Fred wohl [mm]\langle \varphi(v), w \rangle = \langle \varphi^\ast(v), w \rangle[/mm].
Oh weh, ja auch das meinte ich
FRED
> Daraus wiederum (durch geschickte Wahl von [mm]w[/mm]) folgt
> [mm]\varphi(v) = \varphi^\ast(v)[/mm].
>
> LG Felix
>
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