semidefinit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe die Funktion
[mm] f(x,y)=x^2+y^2+2\alpha [/mm] xy
Ich habe bereits die Hessematrix aufgestellt, diese lautet
2 [mm] 2\alpha
[/mm]
[mm] 2\alpha [/mm] 2
Ich habe nun gesagt: (es gilt noch [mm] \alpha \not= [/mm] +/-1), dass die Matrix positiv definit ist für [mm] \alpha^2 [/mm] < 1, positiv semidefinit für [mm] \alpha^2=1 [/mm] und indefinit für [mm] \alpha^2 [/mm] >1
Nun soll ich aber sagen, was für [mm] a^2=1 [/mm] geschieht und soll mir dafür ansehen, wann f konvex bzw konkav wird.
konex wird sie ja, wenn f''(x,y) größer oder kleiner 0 wird.
Aber was muss ich mir dafür ansehen, ich habe doch 3 partielle zweite Ableitungen.
WIe bekomme ich nun dass f konvex ist und dass in [mm] \alpha=1 [/mm] lokale Minima in {(t,-t); t aus R} sind und in [mm] \alpha=-1 [/mm] lokale Minima in {(t,t); t aus R} ? Und wieso im Plural?
Ich hätte hier eigentlich sofort an den Satz für die positiv bzw negativ-Definitheit gedacht mit [mm] x*A+a^t, [/mm] aber offensichtlich kann ich mir die Arbeit hier sparen - wieso?
Ich wäre euch sehr dankabr wenn ihr mir das erklären könntet!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme an, es geht um Extremwerte der Fkt. f.
Du schreibst: "es gilt noch $ [mm] \alpha \not= [/mm] $ +/-1 "
Dann hat f nur einen stationären Punkt, also eine extremwertverdächtige Stelle, nämlich (0,0)
Weiter schreibst Du: "Nun soll ich aber sagen, was für $ [mm] \alpha^2=1 [/mm] $ geschieht".
Was nun?? $ [mm] \alpha^2=1 [/mm] $ [mm] \gdw \alpha [/mm] = 1 oder [mm] \alpha [/mm] = -1 .
Sind diese beiden Werte von [mm] \alpha [/mm] nun zugelassen oder nicht ???
Nehmen wir mal an, sie seien zugelassen. Dann ist die Untersuchung auf Extremwerte aber sehr einfach:
Sei [mm] \alpha [/mm] = 1. Dann : f(x,y) = [mm] (x+y)^2. [/mm] Was kannst Du jetzt über Extremwerte sagen ?
Sei [mm] \alpha [/mm] = -1. Dann : f(x,y) = [mm] (x-y)^2. [/mm] Was kannst Du jetzt über Extremwerte sagen ?
FRED
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> Ich nehme an, es geht um Extremwerte der Fkt. f.
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> Du schreibst: "es gilt noch [mm]\alpha \not=[/mm] +/-1 "
>
> Dann hat f nur einen stationären Punkt, also eine
> extremwertverdächtige Stelle, nämlich (0,0)
>
>
> Weiter schreibst Du: "Nun soll ich aber sagen, was für
> [mm]\alpha^2=1[/mm] geschieht".
>
> Was nun?? [mm]\alpha^2=1[/mm] [mm]\gdw \alpha[/mm] = 1 oder [mm]\alpha[/mm] = -1
> .
>
> Sind diese beiden Werte von [mm]\alpha[/mm] nun zugelassen oder
> nicht ???
>
> Nehmen wir mal an, sie seien zugelassen. Dann ist die
> Untersuchung auf Extremwerte aber sehr einfach:
>
> Sei [mm]\alpha[/mm] = 1. Dann : f(x,y) = [mm](x+y)^2.[/mm] Was kannst Du
> jetzt über Extremwerte sagen ?
>
>
> Sei [mm]\alpha[/mm] = -1. Dann : f(x,y) = [mm](x-y)^2.[/mm] Was kannst Du
> jetzt über Extremwerte sagen ?
Wie kommst du auf diese Funktion? f(x,y) lautet doch anders.
Außerdem haben wir gesagt, dass f konvex sein muss, aber wieso? Und weshalb kann ich nun Aussagen über die Extrema machen (sogar ohne diesen Satz für positiv/negativ semidefinite Matrizen zu nehmen?).
>
Es sind übrigens zwei Teilaufgaben: In a) sind + und -1 nicht zugelassen, in b soll ich schauen, was passiert wenn sie doch zugelassen sind und habe als Bemerkung: Schauen Sie, ob f konvex oder konkav ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Ich nehme an, es geht um Extremwerte der Fkt. f.
> >
> > Du schreibst: "es gilt noch [mm]\alpha \not=[/mm] +/-1 "
> >
> > Dann hat f nur einen stationären Punkt, also eine
> > extremwertverdächtige Stelle, nämlich (0,0)
> >
> >
> > Weiter schreibst Du: "Nun soll ich aber sagen, was für
> > [mm]\alpha^2=1[/mm] geschieht".
> >
> > Was nun?? [mm]\alpha^2=1[/mm] [mm]\gdw \alpha[/mm] = 1 oder [mm]\alpha[/mm] = -1
> > .
> >
> > Sind diese beiden Werte von [mm]\alpha[/mm] nun zugelassen oder
> > nicht ???
> >
> > Nehmen wir mal an, sie seien zugelassen. Dann ist die
> > Untersuchung auf Extremwerte aber sehr einfach:
> >
> > Sei [mm]\alpha[/mm] = 1. Dann : f(x,y) = [mm](x+y)^2.[/mm] Was kannst Du
> > jetzt über Extremwerte sagen ?
> >
> >
> > Sei [mm]\alpha[/mm] = -1. Dann : f(x,y) = [mm](x-y)^2.[/mm] Was kannst Du
> > jetzt über Extremwerte sagen ?
>
> Wie kommst du auf diese Funktion? f(x,y) lautet doch
> anders.
Wie sagte gestern jemand (ich hab vergessen wer es war): Oooch Englein !
[mm] (x+y)^2 [/mm] = [mm] x^2+y^2+2xy, (x-y)^2 [/mm] = [mm] x^2+y^2-2xy
[/mm]
> Außerdem haben wir gesagt, dass f konvex sein muss, aber
> wieso? Und weshalb kann ich nun Aussagen über die Extrema
> machen (sogar ohne diesen Satz für positiv/negativ
> semidefinite Matrizen zu nehmen?).
> >
>
> Es sind übrigens zwei Teilaufgaben: In a) sind + und -1
> nicht zugelassen, in b soll ich schauen, was passiert wenn
> sie doch zugelassen sind und habe als Bemerkung: Schauen
> Sie, ob f konvex oder konkav ist.
Kannst Du die Frage mit den Darstellungen
f(x,y) = [mm](x+y)^2.[/mm] bzw. f(x,y) = [mm](x-y)^2.[/mm]
beantworten ?
Nebenbei: Du bist sehr fleißig, Du bemühst Dich alles richtig zu verstehen, Du stellst viele Fragen. Das ist alles lobenswert.
Andere in diesem Forum haben es Dir auch schon gesagt: mach mal langsam. mach mal Pause und übernimm Dich nicht
Gruß FRED
>
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> Kannst Du die Frage mit den Darstellungen
>
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> f(x,y) = [mm](x+y)^2.[/mm] bzw. f(x,y) = [mm](x-y)^2.[/mm]
>
>
> beantworten ?
>
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> Nebenbei: Du bist sehr fleißig, Du bemühst Dich alles
> richtig zu verstehen, Du stellst viele Fragen. Das ist
> alles lobenswert.
>
Ja, durch die binomischen Formeln, die mir ständig missfallen 
Aber ich stehe wohl trotzdem noch auf dem Schlauch, denn: Wie zeige ich nun, dass f konvex ist und bekomme das geforderte Ergebnis mit den Intervallen? Im EIndimensionalen würde ich ja jetzt die 2. Ableitung ansehen und schauen, was neben meinen Nullstellen der 2. Ableitung passiert, aber hier?
Sorry :-(
> Andere in diesem Forum haben es Dir auch schon gesagt: mach
> mal langsam. mach mal Pause und übernimm Dich nicht
>
>
Ich mach auch gleich eine Pause. Hoffentlich kann ich euch Sonntag Abend berichten, dass alles gut gelaufen ist und sich der ganze Stress gelohnt hat.
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> > Kannst Du die Frage mit den Darstellungen
> >
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> > f(x,y) = [mm](x+y)^2.[/mm] bzw. g(x,y) = [mm](x-y)^2.[/mm]
> Aber ich stehe wohl trotzdem noch auf dem Schlauch, denn:
> Wie zeige ich nun, dass f konvex ist und bekomme das
> geforderte Ergebnis mit den Intervallen? Im
> EIndimensionalen würde ich ja jetzt die 2. Ableitung
> ansehen und schauen, was neben meinen Nullstellen der 2.
> Ableitung passiert, aber hier?
> Sorry :-(
Hallo,
Du möchtest die Extremwerte der Funktion bestimmen?
Wenn man sich die Funktionen anschaut, sieht man ja sofort, daß die Funktionswerte niemals kleiner als 0 werden, der Funktionswert 0 wird z.b. angenommen in (0,0). Die Frage ist nun, ob es noch andere Extremwere gibt.
Lassen wir für f das procedere anlaufen:
[mm] f_x=2(x+y)
[/mm]
[mm] f_y=2(x+y)
[/mm]
Für die kritischen Punkte muß gelten
2(x+y)=0
2(x+y)=0
==> -x=y.
Kurz inngehalten: was bedeutet denn das?
Es bedeutet dies: alle Punkte der Gestalt (x, y)=(x,-x) sind kritische Punkte.
Was bedeutet das? Alle Punkte, bei denen die 2. Komponente das Negative der ersten ist, sind kritische Punkte.
Die Menge der kritischen Punkte kann ich nun so schreiben: die Menge aller Punkte (t,-t), wobei t jede beliebige reelle Zahl sein kann.
In der Vorlesung habt Ihr diese Menge so aufgeschrieben [mm] \{( t, -t) | t\in \IR\}. [/mm] Das hat nix mit Intervallen zu tun. das, was in den Klammern steht, sind die kritischen Punkte, und von denen gibt's bei der Funktion f ziemlich viele.
Nun würde man, würde man blindlings rechnen, die Hessegeschichte anlaufen lassen.
Aber wir sind schlau: wir stellen jetzt mal fest, welches der Funktionswert an den ermittelten kritischen Punkten (t,-t), (also z.B. für (5,-5), [mm] (-\bruch{1}{2}, -\bruch{1}{2}), (\wurzel{4711}, -\wurzel{4711}) [/mm] ), ist: [mm] f(t,-t)=f(t-t)^2=0.
[/mm]
Aha! Kleiner kann der ja überhaupt nicht werden! Also: alles Minima. (Nimm mal ein Blatt Papier und bieg es so, daß der Querschnitt ein U ist. so sieht das aus. Am Boden gibt's lauter Minima, die alle auf eine Linie liegen.
Jetzt noch die Hessematrix an: [mm] H_f(x,y)=\pmat{ 2 & 2 \\ 2 & 2 }.
[/mm]
Die Hessematrix ist positiv semidefinit für alle (!) (x,y) [mm] \in \IR, [/mm] daher ist die Funktion konvex.
Gruß v. Angela
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Und was ist mit (t,t)? Wir haben jetzt nut (t, -t) betrachtet.
Ist das eigentlich ein gängiges Verfahren?
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> Und was ist mit (t,t)? Wir haben jetzt nut (t, -t)
> betrachtet.
Mä - del -chen!!!
Ich habe mir erlaubt, Dir das nur für die erste der beiden Funktionen vorzumachen.
Es steht dann noch [mm] g(x,y)=(x-y)^2 [/mm] zur freundlichen Verwendung für Dich bereit...
>
> Ist das eigentlich ein gängiges Verfahren?
Das "Verfahren" ist dgenau wie immer.
Daß sich hier solch eine Vielzahl an Tiefpunkten ergibt, liegt an der Funktion. Ein gebogenes Blatt Papier sieht halt anders aus als ein Guglhupf - da hat das Verfahren keine Schuld dran.
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Was Du Dir für die Klausur vielleicht noch merken kannst:
wenn Du Funktionen hast die in etwa so aussehen: h(x,y)= [mm] (x-5)^2 [/mm] + [mm] (y+3)^2 [/mm] - 12, dann sieht man sofort, daß es keinen Punkt gibt, dessen Funktionswert kleiner als -12 ist, denn die beiden Klammern sind ja mindestens=0. Das kann man manchmal gebrauchen.
Bei Funktionen, in denen [mm] x^2 [/mm] und [mm] y^2 [/mm] und Vielfache von x und y vorkommen, lohnt es sich zu schauen, ob man die in obige Form gebracht bekommt.
Gruß v. Angela
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Achso, also du meinst dann
[mm] (x-y)^2 [/mm] ist dann abgeleitet 2(x-y) und dann x=y etc? Aber ich muss hier dann auch wie gewöhnlich mit Hesse weitermachen oder?
Mich verwirrt ein wenig diese Denkweise, dass ich anhand der Urpsrungsfunktion aussagen über Extrempunkte machen kann. Gut, wobei das hier ja nur (bei deiner Ergänzung) darum geht evtl für spätere Berechnungen zu sagen, dass man nicht weiterrechnen muss, weil die Funktion ohnehin keine kleineren/größeren Werte annimt, oder?
Bei dem Thread mit der Lagrange-Nebenbedingung, wo ich noch eine Frage gestellt habe, werden aber die Extrema sogar ohne Hesse-Matrix bestimmt durch quadratische Ergänzung. Das habe ich auch nicht ganz nachvollziehen können - wieso?
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> Achso, also du meinst dann
>
> [mm](x-y)^2[/mm] ist dann abgeleitet 2(x-y) und dann x=y etc? Aber
> ich muss hier dann auch wie gewöhnlich mit Hesse
> weitermachen oder?
Dies Funktion geht wie die andere.
Du brauchst die Hessematrix hier nicht unbedingt, denn daß die Punkte (t,t) mit [mm] t\in \IR [/mm] Minima sind, sieht man sofort. Die Funktionswerte können doch an keiner Stelle kleiner werden.
>
> Mich verwirrt ein wenig diese Denkweise, dass ich anhand
> der Urpsrungsfunktion aussagen über Extrempunkte machen
> kann.
Eigentlich hat man in diesen Fällen Glück, weil man weniger rechnen muß.
> Gut, wobei das hier ja nur (bei deiner Ergänzung)
> darum geht evtl für spätere Berechnungen zu sagen, dass man
> nicht weiterrechnen muss, weil die Funktion ohnehin keine
> kleineren/größeren Werte annimt, oder?
Ja.
>
> Bei dem Thread mit der Lagrange-Nebenbedingung, wo ich noch
> eine Frage gestellt habe, werden aber die Extrema sogar
> ohne Hesse-Matrix bestimmt durch quadratische Ergänzung.
> Das habe ich auch nicht ganz nachvollziehen können - wieso?
Ich habe Deine Threads wirklich nicht alle im kopf und weiß auswendig wirklich nicht, worum es geht.
Klingt aber so, als hättest Du so eine Funktion, wie ich im vorhergehenden Post angesprochen hatte:
[mm] h(x)=x^2 [/mm] +6y -10x [mm] +y^2 [/mm] +22
Sortieren:
[mm] h(x)=x^2 [/mm] -10x [mm] +y^2 [/mm] +6y +22
Quadratisch ergänzen:
[mm] h(x)=x^2 [/mm] -10x +25 - 25 [mm] +y^2 [/mm] +6y +9 -9 +22
"Binomisieren":
[mm] h(x)=(x-5)^2 [/mm] -25 [mm] +(y+3)^2 [/mm] -9+22
Zusammenfassen:
$ [mm] (x-5)^2 [/mm] $ + $ [mm] (y+3)^2 [/mm] $ - 12
Hier siehst Du gleich, daß es kein Minimum geben kann, welches kleiner als -12 ist.
Gruß v. Angela
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Also ändert sich füt (t,t) nichts an der gesamten Rechnung, oder? Also ab dem Punkt, wo du das "Prozedere" hast ablaufen lassen, ändert sich nichts, oder?
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> Also ändert sich füt (t,t) nichts an der gesamten Rechnung,
Hallo,
es ändert sich nichts Wesentliches. Die Ergebnisse sind schon ein bißchen anders, Du bekommst eben Minima bei (t,t).
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
> oder? Also ab dem Punkt, wo du das "Prozedere" hast
> ablaufen lassen, ändert sich nichts, oder?
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Zu dem Thema habe ich allerdings noch eine (allgemeinere) Frage:
Ich habe ja die Formel:
[mm] x*A*a^t [/mm] die ich anwende, wenn ich positiv oder negativ semidefinite Matrizen überprüfen will; also wenn eine meiner Determinanten der Hesse-Matrix=0 waren.
Nun kann ich dann ja daraus schließen:
psitiv semidefinit: In den stationären Punkten liegen entweder lokale Minima oder Sattelpunkte
negativ semidefinit: entweder lokale Maxima oder Sattelpunkte
Ist das richtig? Und wenn ja, wie kann eine Matrix dann auch noch indefinit sein, wenn ich dieses Kriterium anwende, angeblich kann ich dann immernoch das Ergebnis kriegen. Und was würde es mir dann sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zu dem Thema habe ich allerdings noch eine (allgemeinere)
> Frage:
>
> Ich habe ja die Formel:
>
> [mm]x*A*a^t[/mm] die ich anwende, wenn ich positiv oder negativ
> semidefinite Matrizen überprüfen will; also wenn eine
> meiner Determinanten der Hesse-Matrix=0 waren.
>
> Nun kann ich dann ja daraus schließen:
> psitiv semidefinit: In den stationären Punkten liegen
> entweder lokale Minima oder Sattelpunkte
ja
> negativ semidefinit: entweder lokale Maxima oder
> Sattelpunkte
>
ja
> Ist das richtig? Und wenn ja, wie kann eine Matrix dann
> auch noch indefinit sein, wenn ich dieses Kriterium
> anwende, angeblich kann ich dann immernoch das Ergebnis
> kriegen. Und was würde es mir dann sagen?
>
>
Es soll wohl $ [mm] x\cdot{}A\cdot{}x^t [/mm] $ heißen.
indefinit heißt die Matrix, wenn es x und y gibt mit:
$ [mm] x\cdot{}A\cdot{}x^t [/mm] $ > 0 und $ [mm] y\cdot{}A\cdot{}y^t [/mm] $ <0
FRED
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Das heißt ich habe nur dann ein lokales Minimum, wenn ich eine positiv semidefinite Matrix habe, bzw es könnte dann ja noch ein SP sein.
Hätte ich die Beispielaufgabe hier so gelöst, dann hätte ich nicht definitv ein lokales Minimum sondern, dass es ja auch ein Sattelpunkt sein könnte. Hab ich denn dann noch eine Möglichkeit festzustellen was genau es nun ist ode würde ich es dabei belassen?
> Es soll wohl [mm]x\cdot{}A\cdot{}x^t[/mm] heißen.
jap
>
> indefinit heißt die Matrix, wenn es x und y gibt mit:
>
> [mm]x\cdot{}A\cdot{}x^t[/mm] > 0 und [mm]y\cdot{}A\cdot{}y^t[/mm] <0
>
Huch, wo kommt denn jetzt das y her? Für diese Formeln schreibe ich ja eigentlich immer nur einen Zeilenvektor mit x * die Matrix * einen Spaltenvektor mit x. Wie bekomme ich dann plötzlich ein y? Muss ich nachher noch beliebige Punkte einsetzen oder sdo etwas?
Wir haben dieses Kriterium nie richtig besprochen..
Und wie interpretiere ich das dann? Ganz normal wie eine indefinite Matrix, also dass dort ein Wendepunkt vorliegt?
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> Das heißt ich habe nur dann ein lokales Minimum, wenn ich
> eine positiv semidefinite Matrix habe, bzw es könnte dann
> ja noch ein SP sein.
Hallo,
ja.
> Hätte ich die Beispielaufgabe hier so gelöst, dann hätte
> ich nicht definitv ein lokales Minimum sondern, dass es ja
> auch ein Sattelpunkt sein könnte. Hab ich denn dann noch
> eine Möglichkeit festzustellen was genau es nun ist ode
> würde ich es dabei belassen?
Für positiv definit wär's aber ein Minimum.
Wenn die Matrix wirklich positiv semidefinit ist im kritischen Punkt, mußt Du Dir was anderes einfallen lassen: Umgebungen des kritischen Punktes untersuchen,
Funktionswerte scharf angucken oder anderes.
(Aber ich würde mir da nicht allzuviele Sorgen machen. Du mußt bedenken, daß Eure Klausuraufgaben ja so gestellt sein müssen, daß man nicht stundenlang rechnen muß.)
>
> > Es soll wohl [mm]x\cdot{}A\cdot{}x^t[/mm] heißen.
>
> jap
> >
> > indefinit heißt die Matrix, wenn es x und y gibt mit:
> >
> > [mm]x\cdot{}A\cdot{}x^t[/mm] > 0 und [mm]y\cdot{}A\cdot{}y^t[/mm] <0
> >
> Huch, wo kommt denn jetzt das y her?
Das soll andeuten, daß die x und y verschiedene Vektoren sind. Für die eine Vektoren"mannschaft" ist das Produkt halt positiv, für die andere negativ, und in jeder dieser "Gruppen" gibt es wirklich einen Teilnehmer.
> Und wie interpretiere ich das dann? Ganz normal wie eine
> indefinite Matrix, also dass dort ein Wendepunkt vorliegt?
Wenn Deine Matrix im kritischen Punkt (stationären Punkt) indefinit ist, hast Du einen Sattelpunkt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:14 Fr 06.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das soll andeuten, daß die x und y verschieden Vektoren
> sind. Für die eine Vektoren"mannschaft" ist das Produkt
> halt positiv, für die andere negativ. Für keinen Vektor ist
> das Produkt =0.
Das stimmt aber nicht !
Die quadratische Form $x $ --> $ [mm] x\cdot{}A\cdot{}x^t [/mm] $ ist stetig.
Wenn die quadrat. Form sowohl positive als auch negative Werte annimmt, so muß sie, wegen des Zwischenwertsatzes auch den Wert 0 annehmen.
FRED
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Hallo,
ertappt.
Ich hab's verbessert - hoffentlich zu Deiner Zufriedenheit.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Fr 06.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu meiner größten Zufriedenheit
FRED
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