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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Riley |
Guten Nachmittag!
hab eine frage zu einem beispiel, das wir in der VL durchgenommen haben.
Wir haben herausgefunden, dass wenn man Funktionen mehrerer Veränderlicher auf Extremwerte untersuchen will, eigentlich nach 2 sachen schaun muss:
1.) [mm] \bruch{df}{dx_i}(x)=0
[/mm]
2.) die zugehörige quadratische Form Q definit [mm] \Rightarrow [/mm] Extremwert
Weiter haben wir festgestellt, dass man bei semidefiniten Formen nicht entscheiden kann ob ein Extremum vorliegt oder nicht und dieses Bsp dazu durchgenommen:
f(x,y) = x² + y²
die zugehörige quadratische Form ist ja
[mm] \pmat{ \bruch{d²f}{dx²}(0,0) & \bruch{d²f}{dxdy}(0,0) \\ \bruch{d²f}{dydx}(0,0) & \bruch{d²f}{dy²}(0,0) } [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
versteh ich das richtig, dass diese form positiv semidefint ist, da det(2)=2 und [mm] det(\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0 }) [/mm] = 0 ??
wie gesagt, wir haben aufgeschrieben, dass bei semidefiniten formen keine allgemeingültigen aussagen möglich sind, aber unser prof meinte bei 0 liege ein Minimum vor. woher weiß er das dann???
genauso haben wir noch f(x,y)=x²-y² betrachtet, dort liegt anscheinend bei 0 ein sattelpunkt vor, aber wie kann ich das herausfinden, wenn das "normale" kriterium versagt?
viele grüße
die fragende riley 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Di 06.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo riley
Manchmal sieht man der Funktion an, ob es ein Minimum ist! hier ist f(x) wegen der Quadrate ?ge 0, also bei 0 ein Minimum, dazu muss man nichtmal differenzieren, genausowenig wie im 1d Fall bei [mm] f(x)=(x-a)^{2}+b [/mm] bei x=a ein Minimum. usw.
entsprechend siehst du ,dass bei [mm] $f(x,y)=x^2-y^2 [/mm] kein Min oder Max vorliegt, denn wenn du x=0 fest und y verkl. oder vergrösserst wird f(x,y) kleiner, wenn du y=0 festlässt und x ändert wird f(xy)größer! also ein Sattel, Deine Beine hängen in y- Richtung, vor und hinter dir gehts rauf!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Di 06.06.2006 | | Autor: | Riley |
HI Leduart!!
Danke für deine Erklärungen, das hab ich jetzt verstanden *freu*
viele grüße
Riley
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