semidefinite Hessematrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Di 22.06.2010 | | Autor: | Chippie |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion [mm] f(x,y,z)=(x+y)^2+(x+1)^2+(y-1)(z-2)^2. [/mm] Bestimmen sie die Extremalpunkte der Funktion und die Art derselben (wenn vorhanden). |
Hallo. Ich habe gerade ein paar Probleme mit dieser Aufgabe. Und diese sehen wie folgt aus:
Gradientenbildung war kein Problem und potenzielle Extremalstelle ist dann (-1,1,2) mit Funktionswert 0.
Und jetzt geht's los: die Hessematrix [mm] $\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0\\ 2 & 2 & 2z-4\\ 0 & 2z-4 & 2y-2\end{pmatrix}$ [/mm] an dieser Stelle besitzt die Eigenwerte 0, 3 [mm] \pm \sqrt{5} [/mm] und ist somit positiv semidefinit.
Nun habe ich versucht an den Argumenten der Funktion zu wackeln, bekomme aber eine Gleichung in 3 Unbekannten... (folgende: [mm] 2*e_1^2+e_2(2*e_2+e_3^2)+e_2^2 \geq [/mm] 0) eher selten lösbar... So geht's also nicht weiter.
Dann hatte ich gedacht, dass ich vielleicht mit den Nullstellen und Konvexität weiter komme, da ja die Extremalstelle auch Nullstelle ist. Aber das Nullstellenverhalten in der Umgebung der kritischen Stelle ist gelinde gesagt bescheiden schön. Also auch nichts.
Grenzwertbetrachtungen helfen auch nichts, da die Funktion weder nach oben noch nach unten beschränkt ist.
Im eindimensionalen gibt es ja noch das Kriterium mit den höheren Ableitungen... aber ich weiß nicht, wie das für mehrdimensionale Funktionen aussieht.
Ein Dozent an meiner Uni in der Funktionalanalysis meinte noch etwas mit Eigenrichtungen und dann solle ich eine Gerade bilden. Aber das hab ich nicht wirklich verstanden...
Ich hoffe mal, dass hier jemand vielleicht einen Schimmer haben könnte, wie man das noch lösen könnte. Ich habe den nämlich nicht mehr.
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Hallo Chippie!
Versuch es mal mit Definitheit von der Hesse-Matrix.
Hoffe,daß ich helfen konnte.
Grüße Martha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Funktion
> [mm]f(x,y,z)=(x+y)^2+(x+1)^2+(y-1)(z-2)^2.[/mm] Bestimmen sie die
> Extremalpunkte der Funktion und die Art derselben (wenn
> vorhanden).
> Hallo. Ich habe gerade ein paar Probleme mit dieser
> Aufgabe. Und diese sehen wie folgt aus:
> Gradientenbildung war kein Problem und potenzielle
> Extremalstelle ist dann (-1,1,2) mit Funktionswert 0.
> Und jetzt geht's los: die Hessematrix [mm]\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0\\ 2 & 2 & 2z-4\\ 0 & 2z-4 & 2y-2\end{pmatrix}[/mm]
> an dieser Stelle besitzt die Eigenwerte 0, 3 [mm]\pm \sqrt{5}[/mm]
> und ist somit positiv semidefinit.
Ich habs nicht nachgerechnet, aber wenn das mit den Eigenwerten richtig ist, so ist die Hessematrix indefinit.
FRED
>
> Nun habe ich versucht an den Argumenten der Funktion zu
> wackeln, bekomme aber eine Gleichung in 3 Unbekannten...
> (folgende: [mm]2*e_1^2+e_2(2*e_2+e_3^2)+e_2^2 \geq[/mm] 0) eher
> selten lösbar... So geht's also nicht weiter.
> Dann hatte ich gedacht, dass ich vielleicht mit den
> Nullstellen und Konvexität weiter komme, da ja die
> Extremalstelle auch Nullstelle ist. Aber das
> Nullstellenverhalten in der Umgebung der kritischen Stelle
> ist gelinde gesagt bescheiden schön. Also auch nichts.
>
> Grenzwertbetrachtungen helfen auch nichts, da die Funktion
> weder nach oben noch nach unten beschränkt ist.
>
> Im eindimensionalen gibt es ja noch das Kriterium mit den
> höheren Ableitungen... aber ich weiß nicht, wie das für
> mehrdimensionale Funktionen aussieht.
>
> Ein Dozent an meiner Uni in der Funktionalanalysis meinte
> noch etwas mit Eigenrichtungen und dann solle ich eine
> Gerade bilden. Aber das hab ich nicht wirklich
> verstanden...
>
> Ich hoffe mal, dass hier jemand vielleicht einen Schimmer
> haben könnte, wie man das noch lösen könnte. Ich habe
> den nämlich nicht mehr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Mo 28.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Gegeben sei die Funktion
> > [mm]f(x,y,z)=(x+y)^2+(x+1)^2+(y-1)(z-2)^2.[/mm] Bestimmen sie die
> > Extremalpunkte der Funktion und die Art derselben (wenn
> > vorhanden).
> > Hallo. Ich habe gerade ein paar Probleme mit dieser
> > Aufgabe. Und diese sehen wie folgt aus:
> > Gradientenbildung war kein Problem und potenzielle
> > Extremalstelle ist dann (-1,1,2) mit Funktionswert 0.
laut Maple gibt es zwei weitere potentielle Extremalstellen.
> > Und jetzt geht's los: die Hessematrix [mm]\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0\\ 2 & 2 & 2z-4\\ 0 & 2z-4 & 2y-2\end{pmatrix}[/mm]
> > an dieser Stelle besitzt die Eigenwerte 0, 3 [mm]\pm \sqrt{5}[/mm]
> > und ist somit positiv semidefinit.
>
> Ich habs nicht nachgerechnet, aber wenn das mit den
> Eigenwerten richtig ist,
Laut Maple stimmt das alles.
> so ist die Hessematrix indefinit.
Da muss ich widersprechen: da die Matrix symmetrisch ist (nennen wir sie $H$), gibt es eine orthogonale Matrix $O$ mit [mm] $O^T [/mm] H O = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 - \sqrt{5} & 0 \\ 0 & 0 & 3 + \sqrt{5}}$; [/mm] ist also $x = O y$ mit $y = [mm] (y_1, y_2, y_3)$, [/mm] so ist [mm] $x^T [/mm] H x = (3 - [mm] \sqrt{5}) y_2^2 [/mm] + (3 + [mm] \sqrt{5}) y_3^2$. [/mm] Damit sieht man, dass die Matrix sehr wohl positiv semidefinit ist.
Eine Aussage ueber ein Extrema der Funktion kann man jedoch trotzdem nicht treffen, da die Funktion nicht quadratisch ist.
> > Nun habe ich versucht an den Argumenten der Funktion zu
> > wackeln, bekomme aber eine Gleichung in 3 Unbekannten...
Schau doch einfach die Familie $(-1, 1, t)$ an: es ist $f(-1, 1, t) = 0$, egal was $t$ ist. Man sieht auch sofort, dass es in einer Umgebung der Nullstelle $(-1, 1, 2)$ keine anderen Nullstellen gibt als diese.
Schau dir nun $(x - 1, y + 1, z + 2)$ an fuer $y < 0$; das ist die einzige Moeglichkeit, in einer Umgebung von $(-1, 1, t)$ negative Funktionswerte zu erhalten. Es ist $f(x - 1, y + 1, z + 2) = (x + [mm] y)^2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + y [mm] z^2$. [/mm] Sei $x = -y$, dann bleibt [mm] $y^2 [/mm] + y [mm] z^2 [/mm] = y (y + [mm] z^2)$ [/mm] uebrig. Wenn also $y < 0$ ist und gleichzeitig [mm] $-z^2 [/mm] < y$, so ist der Funktionswert an der Stelle $(-y - 1, y + 1, z + 2)$ negativ.
Daraus folgt: in $(-1, 1, 2)$ hat man einen Sattelpunkt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:33 Di 29.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Hallo Felix,
ja,ja, wer lesen kann ist im Vorteil. Ich habe u.a. gelesen, dass [mm] \pm \wurzel{5} [/mm] Eigenwerte seien. Chippie meinte aber $3 [mm] \pm \wurzel{5}$
[/mm]
Ich hab nicht genau hingesehen
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Do 15.07.2010 | | Autor: | Chippie |
Also inzwischen habe ich mit meinem Funktionentheorie-Dozenten gesprochen. Die Funktion hat in (-1,1,2) ein nicht-striktes lokales Minimum. Und zwar liegt es daran:
Man bilde den Eigenvektor der Hessematrix zum Eigenwert 0. Dieser lautet (0,0,t). Anschließend bilde man damit und der Extremalstelle eine Gerade, also (-1,1,2+t).
Auf der Geraden hat die Funktion den konstanten Funktionswert 0, was dem Funktionswert der Extremalstelle entspricht. Da die beiden anderen Eigenwerte positiv waren, liegen in diesen Richtungen lokale Minima vor.
Insgesamt liegt also ein nicht-striktes lokales Minimum vor.
Das die Betrachtung der Eigenrichtungen ausreicht, liegt daran, dass die Taylorentwicklung von ihnen dann dominiert wird.
Es gibt zwar in der Umgebung um (-1,1,2) Werte, die kleiner 0 sind, aber durch die oberen Betrachtungen gibt es ein epsilon für die kleiner-gleich-Relation.
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