senkrecht schwing. Federpendel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Di 12.02.2008 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Wir haben die Bewegungsgleichung (?) für ein senkrecht schwingendes Federpendel gehabt, was ich zum Ende hin nicht mehr nachvollziehen kann.
Habe die Aufgabe unten mal angehängt. Das Problem tritt nach dem blauen Kasten auf. Ich weiß absolut nicht wie man auf die "allgemeine Lösung" kommt. Was ist überhaupt A und was B, Amplitude...?!
Und vorher schon ein kleines Problem, wie man auf =-D(x´-x´_r) kommt. Was aber für den Verlauf nicht wichtig zu sein scheint.
Wäre super wenn ihr mir da helfen könntet.
Viele Dank!
Mfg ONeill
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Bei der Federgleichung stellt man erst mal ein Kräfte gleichgewicht auf:
[mm] F_{a}=F_{r}+F_{f}+F_{g}
[/mm]
Wobei [mm] F_{a} [/mm] beschleunigungskraft, [mm] F_{r} [/mm] luftreibungskraft, [mm] F_{f} [/mm] Federkraft und [mm] F_{g} [/mm] Gewichtskraft.
Für [mm] F_{a} [/mm] gilt laut Newton [mm] F_{a}=m*a(t)=m*x''(t)
[/mm]
Bei dem zweiten schritt hab ich die tatsache verwendet, dass die zweite ableitung des Ortes nach der zeit die Beschleunigung ist:
Für [mm] F_{r}=k*(v(t))^2=k*(x'(t))^2
[/mm]
Wobei k ein Proportionalitätsfaktor ist und die Gleichung nichts anderes bedeutet als dass die Luftreibungskraft direktproprotional zum geschwindigkeitsqaudrat(darum der Propotonalitätsfaktor).
Für [mm] F_{f}=-D*x(t) [/mm] (Hooksches Gesetz) gilt.
Und für [mm] F_{g}=m*g [/mm] (nach Newton)
Bemerkung: Normalerweise lässt man [mm] F_{g} [/mm] raus da man durch die Gewichtskraft nur den die Feder neu richtet und so ein neuen Ausgangspunkt hat, aber an sich bleibt der Verlauf des Pendels(Feders) gleich.==> Man kann [mm] F_{g} [/mm] eliminieren durch neuzentrierung:
Wie ich gerade sehe hab ihr die Luftreibungskraft rausgelassen [mm] ==>F_{r}=0 [/mm] (z.B.) im Vakuum
==>
m*x''(t)=-D*x(t) [mm] ==>x''(t)=-\bruch{D}{m}*x(t)
[/mm]
Diese Art von Gleichung nennt man Differentialgleichung, weil eine Funktion und ihre Ableitungen in eine Gleichung gesetzt werden.
Die Aufgabe ist es nun die Funktionen x(t) zu finden die diese Gleichung erfüllen. Wenn du dir die Gleichung anschaust, dann bedeutet sie: wenn ich die Funktion zwei mal ableite, dann bekomme ich sie wieder raus nur mit einem negativen Vorfaktor.
Wenn du mal kurz nachdenkts welche Funktionen 2 mal abgeleitet sich wieder selbts reproduzieren, dann kommst du auf die Nullfunktion, Sinus, Kosinus und die Exponentialfunktion(wobei bei dieser kein negativer Faktor nach zweimaligen ableiten vorhanden sein kann).
Die Nullfunktion ist es auch nicht, da sich das Pendel ja bewegt.==> Es kommen nun Sinus und Kosinus in Frage:
Nehmen wir an x(t) habe die Form [mm] x(t)=A*sin(\omega*t+\phi)
[/mm]
A ist die Amplitude, [mm] \omega [/mm] die Kreisfreqenz und [mm] \phi [/mm] kann eine Phasenverschiebung sein( z.b. Kann ich das Pendel hochheben, dann ist natürlich mein ausgangspunkt ein anderer als wenn ich das Pendel aus der Ruhe fallenlasse ==> Andere Bewegungsgleichung!
Jetzt leiten wir x(t) zwei mal nach der Zeit ab(Kettenregel beachten)!
[mm] ==>x'(t)=A*cos(\omega*t+\phi)*\omega
[/mm]
[mm] ==>x''(t)=A*[(-sin(\omega*t+\phi))*\omega]*\omega
[/mm]
[mm] ==>x''(t)=-(\omega)^2*[A*sin(\omega*t+\phi)]
[/mm]
Jetzt sehen Wir aber, dass wir in der Klammer wieder x(t) haben:
[mm] ==>x''(t)=-(\omega)^2*x(t)
[/mm]
Jetzt vergleichst du unsere Differentialgleichung von anfang: [mm] x''(t)=-\bruch{D}{m}*x(t) [/mm] und siehst, wenn [mm] (\omega)^2=\bruch{D}{m} [/mm] dann erfüllt unser ansatz diese Differentialgleichung!
==> [mm] x(t)=A*sin(\omega*t+\phi)
[/mm]
Das Ding mit der Allgemeinen Lösung ist ein Zeichen, dass euer Lehrer nur angeben wollte aber eigentlich keinen Plan hat, weil er es euch nicht erklären konnte.
Aber das mit der Allgemeinen Lösung ist einfach wenn du sie in die Differentialgleichung einsetzts dann siehst du, dass sie die Gleichung löst.
Aber es gibt einen Satz, der aussagt dass man die Summe der Form S=A*sinx+B*cosx [A und B sind hier beliebige Zahlen] immer durch einen Phasenverschobenen Sinus oder Kosinus darstellen kann mit neuer Amplitude C:
[mm] ==>S=A*sinx+B*cosx=C*sin(x+\phi) [/mm] oder [mm] =C*cos(x+\phi)
[/mm]
Genau das wurde nämlich verwendet.
Jetzt musst du noch Anfangsbedingungen wissen(erinnere dich an mein Beispiel mit dem Hochheben) um A und [mm] \phi [/mm] zu bestimmen! [mm] \omega [/mm] kennen wir schon über [mm] (\omega)^2=\bruch{D}{m} [/mm] ==> [mm] \omega=\wurzel{\bruch{D}{m}}
[/mm]
Du siehst wir haben also zwei Variablen, für eine eindeutige bestimmung dieser Benötigen wir 2 Gleichungen.
Ich geb dir hier mal einfach welche for [mm] x(t=t_{1})=x_{1} [/mm] und [mm] x(t=t_{2})=x_{2}
[/mm]
dies setzts du jetzt in die obere Gleichung ein
[mm] x(t=t_{0})=A*sin(\omega*t_{0}+\phi)=x_{0}
[/mm]
[mm] v(t=t_{0})=x'(t=t_{0})=A*\omega*cos(\omega*t_{0}+\phi)=v_{0}
[/mm]
Jetzt Dividiert man die erste Gleichung durch A und die zweite durch [mm] A*\omega; [/mm] anschließend Quadriert man beide Gleichungen(Nur die Rechte Gleichung wird jeweils betrachtet:
==> 1) [mm] [sin(\omega*t_{0}+\phi)]^2=(\bruch{x_{0}}{A})^2
[/mm]
==>2) [mm] [cos(\omega*t_{0}+\phi)]^2=(\bruch{v_{0}}{A*\omega})^2
[/mm]
Jetzt Addiert man beide Gleichungen! Auf der Linken seite Erhalten wir 1 (Trigonometrischer Phytagoras):
[mm] 1=(\bruch{x_{0}}{A})^2+(\bruch{v_{0}}{A*\omega})^2
[/mm]
Jetzt Multiplizierst du die Gleichung mit [mm] A^2
[/mm]
==> [mm] A^2=x_{0}^2+\bruch{v_0^2}{\omega^2}
[/mm]
Jetzt Wurzelziehen und du bist da wo du hast die Gleichung von euch.
Division Der Gleichungen:
[mm] A*sin(\omega*t_{0}+\phi)=x_{0}
[/mm]
[mm] A*\omega*cos(\omega*t_{0}+\phi)=v_{0}
[/mm]
Ergibt:
[mm] \bruch{sin(\omega*t_{0}+\phi)}{\omega*cos(\omega*t_{0}+\phi)}=\bruch{x_{0}}{v_{0}}
[/mm]
Jetzt multipliziert man mit [mm] \omega [/mm] und wendet die defintion des Tangens an [mm] \tan x=\bruch{\sin x}{\cos x}:
[/mm]
[mm] \tan (\omega*t_{0}+\phi)=\bruch{x_{0}*\omega}{v_{0}}
[/mm]
Das minuszeichen kommt bei euch weil ihr den Ansatz mit dem Kosinus gewählt habt!
Aber ich hoffe du hast das Prinzip so ungefähr verstehen können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Do 14.02.2008 | | Autor: | ONeill |
Hallo Gogeta259!
Das generelle Vorgehen war mir klar, aber vielen Dank, dass du das Ganze nochmal so ausführlich hergeleitet hast.
> Das Ding mit der Allgemeinen Lösung ist ein Zeichen, dass
> euer Lehrer nur angeben wollte aber eigentlich keinen Plan
> hat, weil er es euch nicht erklären konnte.
>
> Aber das mit der Allgemeinen Lösung ist einfach wenn du sie
> in die Differentialgleichung einsetzts dann siehst du, dass
> sie die Gleichung löst.
> Aber es gibt einen Satz, der aussagt dass man die Summe
> der Form S=A*sinx+B*cosx [A und B sind hier beliebige
> Zahlen] immer durch einen Phasenverschobenen Sinus oder
> Kosinus darstellen kann mit neuer Amplitude C:
> [mm]==>S=A*sinx+B*cosx=C*sin(x+\phi)[/mm] oder [mm]=C*cos(x+\phi)[/mm]
>
> Genau das wurde nämlich verwendet.
Genau das war mein Problem, scheint aber dann für später mal nicht so wirklich relevant zu sein. Schön dass du mir das erklären konntest. Vielen Dank für deine Mühe!
Gruß ONeill
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