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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Di 15.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ist folgende Menge eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra?
Menge, die jedes Intervall aus [0,1] enthält, wobei dieses Intervall entweder die leere Menge ist oder endliche Vereinigung von Intervallen mit rationalen Endpunkten. |
Ist dies eine sigma-Algebra?
1.) Ist die leere Menge enthalten?
Ja, nach Konstruktion der Menge.
2.) A enthalten, dann auch A Komplement?
3.) [mm] A_1,A_2,... [/mm] enthalten, dann auch [mm] \bigcup_{j=1}^{\infty} A_j [/mm] ?
Ich habe diese Frage auch hier gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=449408
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ist folgende Menge eine [mm]\sigma[/mm] -Algebra?
>
> Menge, die jedes Intervall aus [0,1] enthält, wobei dieses
> Intervall entweder die leere Menge ist oder endliche
> Vereinigung von Intervallen mit rationalen Endpunkten.
Was nun diese Menge genau ist, ist mir nicht klar, denn obiges hast Du schlampig formuliert.
Was ist die Grundmenge ? Das Intervall [0,1] ?
Was meinst Du mit ..... " wobei dieses Intervall " ....
Eine endliche Verinigung von Intervallen muß kein Intervall sein !
Also: wie ist obige Menge nun definiert ?
FRED
> Ist dies eine sigma-Algebra?
>
> 1.) Ist die leere Menge enthalten?
> Ja, nach Konstruktion der Menge.
>
> 2.) A enthalten, dann auch A Komplement?
> 3.) [mm]A_1,A_2,...[/mm] enthalten, dann auch
> [mm]\bigcup_{j=1}^{\infty} A_j[/mm] ?
>
> Ich habe diese Frage auch hier gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=449408
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Di 15.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Die Grundmenge ist [0,1].
Und dann geht es um Intervalle (oder Mengen? Das erinnere ich leider nicht mehr genau...) aus dieser Grundmenge, die entweder "leer" sind oder eine endliche Vereinigung von Intervallen mit rationalen Endpunkten sind.
Und gefragt war, ob dies dann eine sigma-Algebra ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Grundmenge ist [0,1].
> Und dann geht es um Intervalle (oder Mengen? Das erinnere
> ich leider nicht mehr genau...) aus dieser Grundmenge, die
> entweder "leer" sind oder eine endliche Vereinigung von
> Intervallen mit rationalen Endpunkten sind.
>
> Und gefragt war, ob dies dann eine sigma-Algebra ist.
Ich gehe mal davon aus, dass folgendes Mengensystem gemeint ist:
B:= { M [mm] \subset [/mm] [0,1]: M= [mm] \emptyset [/mm] oder M ist endliche Vereinigung von Intervallen mit rationalen Endpunkten }
Nun nimm die mal eine Folge [mm] (r_n) [/mm] mit folgenden Eigenschaften her:
[mm] r_n \in \IQ [/mm] und [mm] 0
Setze damit [mm] M_n:=[0, r_n]
[/mm]
Dann: [mm] M_n \in [/mm] B für jedes n.
Was ist mit [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}M_n [/mm] ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Di 15.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ja, dieses Mengensystem war das.
>
> Nun nimm die mal eine Folge [mm](r_n)[/mm] mit folgenden
> Eigenschaften her:
>
> [mm]r_n \in \IQ[/mm] und [mm]0
> jedes n und [mm]r_n \to \bruch{1}{\wurzel{2}}.[/mm]
>
> Setze damit [mm]M_n:=[0, r_n][/mm]
>
> Dann: [mm]M_n \in[/mm] B für jedes n.
>
> Was ist mit [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}M_n[/mm] ??
>
[mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} M_n [/mm][mm] =[0,r_1]\cup [0,r_2]\cup \hdots \to [0,\bruch{1}{\sqrt{2}}] [/mm] und dies ist eine endliche Vereinigung und die Endpunkte sind rational.
Was ist mit dem Komplement?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, dieses Mengensystem war das.
>
> >
> > Nun nimm die mal eine Folge [mm](r_n)[/mm] mit folgenden
> > Eigenschaften her:
> >
> > [mm]r_n \in \IQ[/mm] und [mm]0
> > jedes n und [mm]r_n \to \bruch{1}{\wurzel{2}}.[/mm]
> >
> > Setze damit [mm]M_n:=[0, r_n][/mm]
> >
> > Dann: [mm]M_n \in[/mm] B für jedes n.
> >
> > Was ist mit [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}M_n[/mm] ??
> >
>
> [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} M_n[/mm][mm] =[0,r_1]\cup [0,r_2]\cup \hdots \to [0,\bruch{1}{\sqrt{2}}][/mm]
> und dies ist eine endliche Vereinigung und die Endpunkte
> sind rational.
Quatsch ! [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} M_n= [/mm] [0, [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}]. [/mm] Ist [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] rational ?
FRED
>
> Was ist mit dem Komplement?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Di 15.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Nein, das ist irrational.
Eine Frage: Wieso kannst Du einfach annehmen, dass es eine solche Folge gibt, deren Folgenglieder rational sind und die gegen eine irrationale Zahl [mm] 1/\sqrt{2} [/mm] konvergieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Di 15.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nein, das ist irrational.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Eine Frage: Wieso kannst Du einfach annehmen, dass es eine
> solche Folge gibt, deren Folgenglieder rational sind und
> die gegen eine irrationale Zahl [mm]1/\sqrt{2}[/mm] konvergieren?
Gegenfrage: die Vorlesung "Analysis I" hast du gehoert, oder?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Di 15.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ja, die habe ich gehört, trotzdem bleibt meine Frage.
[Du musst mich nicht darauf hinweisen, dass mein Analysis-Wissen minimal ist, das weiß ich sogar selbst.]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir nehmen uns ein abgeschlossenes Intervall [a,b] her (a<b)
Dann setzen wir $A:=[a,b] [mm] \cap \IQ$
[/mm]
In jeder vernünftigen Analysis I - Vorlesung lernt man: A liegt dicht in [a,b], oder anders formuliert:
jedes x in [a,b] ist Grenzwert einer geeigneten Folge aus A
Zu Deiner Frage: Setze a=0, b= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] und x= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Di 15.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Das heißt: Das funktioniert darum, weil die rationalen Zahlen dicht in [mm] \IR [/mm] sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Das heißt: Das funktioniert darum, weil die rationalen
> Zahlen dicht in [mm]\IR[/mm] sind?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, die habe ich gehört, trotzdem bleibt meine Frage.
>
> [Du musst mich nicht darauf hinweisen,
> dass mein Analysis-Wissen minimal ist,
Wenn Du Mathematik studierst (und ich nehme an, Du bist in einem Semester [mm] \ge [/mm] 3), so solltest du das so umgehend , wie geschwind ändern.
Gruß FRED
> das weiß ich sogar selbst.]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Di 15.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich bin ja dabei, aber so einfach ist das nicht.
Natürlich würde ich das gerne schaffen. Wenn Du mir sagen kannst, wie man das am besten angeht: Nur zu. Ansonsten helfen mir solche Aussagen kaum weiter.
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