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Forum "Integralrechnung" - simpson verfahren
simpson verfahren < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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simpson verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Sa 29.11.2008
Autor: noobo2

hallo,
kann mal jemand kurz erklären, wie man in der simpson regel darauf kommt, welcher Funktionswert mit 2 multipliziert wird und welcher mit 4?
den Faktor 2 verstehe ich, da das ende des einen Intervalls immer der Anfang des nächsten Intervalls ist, aber wo kommt die 4 her?

        
Bezug
simpson verfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:00 Sa 29.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi

sori aber korigir dcho bite zuerts di ortogravifeler dan schaun wir wider ...

Bezug
        
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simpson verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Sa 29.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> hallo,
>  kann mal jemand kurz erklären, wie man in der simpson
> regel darauf kommt, welcher Funktionswert mit 2
> multipliziert wird und welcher mit 4?
>  den Faktor 2 verstehe ich, da das ende des einen
> Intervalls immer der Anfang des nächsten Intervalls ist,
> aber wo kommt die 4 her?


Hallo noobo,

du schreibst ja doch deutsch ... ;-)

Die Formel von Simpson wird ja ursprünglich auf
einem Intervall [links;rechts] hergeleitet, indem
eine Parabel durch die 3 Punkte

      $\ Links\ (links/f(links))$
      $\ Mitte\ (mitte/f(mitte))$
      $\ Rechts\ (rechts/f(rechts))$

gelegt wird, wobei    $\ [mm] mitte=\bruch{links+rechts}{2}$ [/mm]

Dabei kommt heraus:

   $\ [mm] \integral_{links}^{rechts}{f(x)\ dx\ }=\bruch{rechts-links}{6}*\left(f(links)+4*f(mitte)+f(rechts)\right)$ [/mm]

Dann fügt man eine Reihe solcher halbierter Intervalle
aneinander. Dabei werden die Gewichte für die Funktions-
werte an den Stützstellen (inkl. Intervallmittelpunkte)
addiert, und man erhält z.B. bei 4 Intervallen (8 Halb-
Intervalle, 9 Stützpunkte) die Gewichte:


1     4     1
            1     4     1
                        1     4     1
                                    1     4     1
__________________________________________________

1     4     2     4     2     4     2     4     1


Gruß und schönen Abend !

Al-Chw.    
    

  

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simpson verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Sa 29.11.2008
Autor: noobo2

hallo,
erstmal vielen dank für die große mühe mit der antwort, hätte jedoch noch eine frage..kann man sich das visuell vorstellen, dass der mittlere funktionswert mit 4 multipliziert werden muss oder ergibt sich das einfach aus dem von dir gezeigten Integral (keplersche fassregel) , weil sobald nnicht mehr 2 ist sondern mehr tritt ja erst der Faktor 2 mit ins spiel...

Bezug
                        
Bezug
simpson verfahren: Anleitung zur Herleitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 Sa 29.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> hallo,
>  erstmal vielen dank für die große mühe mit der antwort,

so groß war die nicht mal ...

> hätte jedoch noch eine frage...kann man sich das visuell
> vorstellen, dass der mittlere funktionswert mit 4
> multipliziert werden muss oder ergibt sich das einfach aus
> dem von dir gezeigten Integral (keplersche fassregel)

Wirklich gezeigt habe ich das Integral ja nicht, aber du
kannst es, wenn du willst, selber nachvollziehen:

Wir betrachten z.B. eine Funktion f, von der wir
nur die Funktionswerte f(0)=r, f(1)=s, f(2)=t
an den Stellen links=0, mitte=1 und rechts=2
kennen.
Als Ersatzfunktion für f nehmen wir nun (da wir
f ja gar nicht im Detail kennen) eine quadratische
Funktion  [mm] q(x)=a*x^2+b*x+c [/mm] . Diese Funktion q
soll an den Stützstellen x=0, x=1 und x=2 mit der
Funktion f übereinstimmen, also:

        (1)  $\ [mm] q(0)=a*0^2+b*0+c=r$ [/mm]
        (2)  $\ [mm] q(1)=a*1^2+b*1+c=s$ [/mm]
        (3)  $\ [mm] q(2)=a*2^2+b*2+c=t$ [/mm]

Löse dieses Gleichungssystem nach a,b,c auf,
setze die Lösungsterme für a,b,c (welche natürlich
die Konstanten r,s und t enthalten werden) in die
Funktionsgleichung von q ein und berechne
dann das Integral

       [mm] $\integral_{0}^{2}q(x)\ [/mm] dx$

Beachte noch, dass das Integrationsintervall
in diesem Fall die Breite 2 hat - und dann
wirst du die Simpson-Formel sicher besser
verstehen, als wenn du diese Rechnung nicht
gemacht hättest !


LG    al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
simpson verfahren: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:43 Sa 29.11.2008
Autor: noobo2

hallo,
danke das ist jetzt soweit klar, ich hab aber noch eine problem udn zwar war mti die funktion gegeben
f(x) = x*ln(x)
udn ich sollte mit dem simpson verfahren numerisch integrieren  und zwar das integral
[mm] \integral_{1}^{2}{f(x) dx} [/mm]
also hab ich eingesetzt ich hab efür n=6 Einzelstreifen gewählt:
f(b)= 2*ln(2)
f(a) = f(1)=0
[mm] \bruch{\bruch{2-1}{3}}{3}*(0+2*\summe_{i=1}^{(6/2)-1} f(0+2*i*\bruch{1}{3})+ [/mm] 4* [mm] [\summe_{i=0}^{2}f(0+2*i*(1/3)+(1/3)] [/mm] +f(b))

es kommt aber keien geeignete näherung aus meien formel ind ie ich einsetzte lautet:
dabei gilt h= (b-a)/n
[mm] \bruch{h}{3}(f(a)+2*\summe_{i=1}^{(n/2)+1}f(a+2*i*(1/3))+4*(\summe_{i=1}^{(n/2)+1}f(a+2*i*(1/3)+(1/3))+f(b)) [/mm]

hab cih nen fehler gemacht?

Bezug
                                        
Bezug
simpson verfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:23 Sa 29.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi

meine erste Mitteilung in diesem thread schon wieder vergessen ?




Bezug
                                        
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simpson verfahren: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Mo 01.12.2008
Autor: matux

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