simultane Diagonalisierbarkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei $V$ ein endlichdim. VR über einem Körper $K$ und sei $M [mm] \subseteq \operatorname{End}(V)$ [/mm] die Menge von diagonalisierbaren Endomorphismen von $V$, die paarweise vertauschen bzw. kommutieren. Zeigen Sie, dass eine Basis $B$ von $V$ existiert, welche alle $f [mm] \in [/mm] M$ simultan diagonalisiert, d.h. für alle $f [mm] \in [/mm] M$ ist [mm] $~_Bf_B$ [/mm] eine Diagonalmatrix. |
Hallo zusammen,
habe Probleme zur obigen Aufgabe und hoffe, dass einer von euch mir hier weiter helfen kann.
Mein Ansatz ist zunächst:
Seien $f,g [mm] \in [/mm] M$ und sei $v$ ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert $k$, so gilt $f(g(v)) = (f [mm] \circ [/mm] g)(v) = (g [mm] \circ [/mm] f)(v) = g(f(v)) = g(kv) = [mm] k\cdot [/mm] g(v)$. Also ist auch $g(v)$ ein Eigenvektor von $f$ zum EW $k$. Allgemein könnte man mit $E(f,k) := [mm] \Kern(f-k\cdot [/mm] id)$ Eigenraum sagen, dass $g(E(f,k)) [mm] \subseteq [/mm] E(f,k)$.
Jetzt könnte ich (wurde nicht in der VL explizit gezeigt, aber an einem Beispiel erläutert) $V$ zerlegen mit $V = [mm] \bigoplus\limits_{k\text{ EW von }f} [/mm] E(f,k)$. Jetzt wird mir in einem Hinweis der Aufgabe empfohlen eine Induktion nach $n := [mm] \dim_K(V)$ [/mm] zu machen.
Wie stelle ich diese aber an? Hier beginnt die Unklarheit...
Freue mich über eure Ratschläge.
Grüße
Joe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Sa 01.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]V[/mm] ein endlichdim. VR über einem Körper [mm]K[/mm] und sei [mm]M \subseteq \operatorname{End}(V)[/mm]
> die Menge aller diagonalisierbaren Endomorphismen von [mm]V[/mm],
> die paarweise vertauschen bzw. kommutieren. Zeigen Sie,
> dass eine Basis [mm]B[/mm] von [mm]V[/mm] existiert, welche alle [mm]f \in M[/mm]
> simultan diagonalisiert, d.h. für alle [mm]f \in M[/mm] ist [mm]~_Bf_B[/mm]
> eine Diagonalmatrix.
> Hallo zusammen,
>
> habe Probleme zur obigen Aufgabe und hoffe, dass einer von
> euch mir hier weiter helfen kann.
>
> Mein Ansatz ist zunächst:
>
> Seien [mm]f,g \in M[/mm] und sei [mm]v[/mm] ein Eigenvektor von [mm]f[/mm] zum
> Eigenwert [mm]k[/mm], so gilt [mm]f(g(v)) = (f \circ g)(v) = (g \circ f)(v) = g(f(v)) = g(kv) = k\cdot g(v)[/mm].
> Also ist auch [mm]g(v)[/mm] ein Eigenvektor von [mm]f[/mm] zum EW [mm]k[/mm].
Halt ! Ist denn auch g(v) [mm] \ne [/mm] 0 ?
> Allgemein könnte man mit [mm]E(f,k) := \Kern(f-k\cdot id)[/mm]
> Eigenraum sagen, dass [mm]g(E(f,k)) \subseteq E(f,k)[/mm].
>
> Jetzt könnte ich (wurde nicht in der VL explizit gezeigt,
> aber an einem Beispiel erläutert) [mm]V[/mm] zerlegen mit [mm]V = \bigoplus\limits_{k\text{ EW von }f} E(f,k)[/mm].
Das ist doch die Def. von "diagonalisierbar" !!!!!!!
> Jetzt wird mir in einem Hinweis der Aufgabe empfohlen eine
> Induktion nach [mm]n := \dim_K(V)[/mm] zu machen.
>
> Wie stelle ich diese aber an? Hier beginnt die
> Unklarheit...
Was ist Dir daran unklar ?
Mach eine "übliche" Induktion.
FRED
>
> Freue mich über eure Ratschläge.
>
> Grüße
> Joe
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Hallo Fred,
ich danke dir für deine Antwort.
Also ich nehme an, dass $g(v) [mm] \not= [/mm] 0$ ist, da wir es sowieso mit linearen Abbildungen zu tun haben und außerdem bereits $v$ ein von $0$ verschiedener Vektor sein muss.
Bei uns sieht die Definition von diagonalisierbar vor, dass eine Basis $B$ existiert, sodass [mm] $_Bf_B$ [/mm] eine Diagonalmatrix mit Eigenwerten als Diagonaleinträgen hat. Daher war das für mich nicht direkt offensichtlich, aber ich habe mich ein bisschen eingelesen und den Beweis dazu studiert.
Ich kann die Induktion nicht formulieren. Für mich wäre der I.Anfang: sei $n = 1$, so folgt, dass [mm] $_Bf_B [/mm] = [mm] k\cdot [/mm] 1$ wegen der Diagonalisierbarkeit von $f$.
Stimmt das überhaupt und wie formuliere ich meinen Induktionsschluss (und die passende Annahme)?
Grüße
Joe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 03.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 Sa 01.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]V[/mm] ein endlichdim. VR über einem Körper [mm]K[/mm] und sei [mm]M \subseteq \operatorname{End}(V)[/mm]
> die Menge aller diagonalisierbaren Endomorphismen von [mm]V[/mm],
> die paarweise vertauschen bzw. kommutieren. Zeigen Sie,
> dass eine Basis [mm]B[/mm] von [mm]V[/mm] existiert, welche alle [mm]f \in M[/mm]
> simultan diagonalisiert, d.h. für alle [mm]f \in M[/mm] ist [mm]~_Bf_B[/mm]
> eine Diagonalmatrix.
Ich hab da mal eine Frage zur Aufgabenstellung. Seht da wirklich, dass $M$ die Menge aller solcher Endomorphismen sein soll?
Diese Menge aller solcher Endomorphismen gibt es naemlich gar nicht. Es gibt viele Mengen mit dieser Eigenschaft, insbesondere auch maximal grosse (die lassen sich sogar explizit angeben und recht schoen parametrisieren), aber keine davon ist besonders ausgezeichnet und insofern auch nicht zu bevorzugen. Die Aufgabenstellung ergibt so keinen Sinn.
Es sei denn, man nimmt an, es ist irgendeine solche Menge gemeint.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:28 So 02.06.2013 | | Autor: | JoeSunnex |
Hallo Felix,
du hast völlig recht, ich bin beim Abtippen paar Zeilen verrutscht - sorry, $M$ ist eine Menge von diagonalisierbaren Endomorphismen...
Grüße
Joe
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