sin/cos Ableitung lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mi 16.01.2013 | | Autor: | locke123 |
| Aufgabe | Es bezeichne sin (bzw. cos) die trigonometrischen Funktionen sin: [mm] \IR \to \IR, [/mm] t [mm] \to [/mm] sin(t) (bzw. cos: [mm] \IR \to \IR, [/mm] t [mm] \to [/mm] cos(t)). Sei V:=< sin, cos > [mm] \subset Abb(\IR,\IR), [/mm] der von sin und cos aufgespannte [mm] \IR-Untervektorraum [/mm] aller reellwertiger Funktionen auf [mm] \IR.
[/mm]
Sei D die Abbildung D(f) = f', wobei f' die Ableitung von f bezeichne. Zeigen Sie, dass D sich zu einer linearen Abbildung V [mm] \to [/mm] V beschränkt und bestimmen Sie die Darstellungsmatrix [mm] M_{B}^{B}(D). [/mm] |
Woher kommt das f? Das wurde nirgends definiert oder klar gemacht, was das sein soll. Ist das f entweder sin oder cos? Oder ist f, sin und cos verknüpft, falls ja, welche Verknüpfung?
Die Darstellungsmatrix ist nicht das Problem. Nur die Lineare Abbildung zeigen, darauf komme ich leider nicht. Muss ich auch die Beschränktheit zeigen, weil eine beschränkte lineare Abbildung hatten wir noch nicht durchgenommen, soweit ich mich erinnern kann.
Würde mich über einen Ansatz oder einen Tipp freuen.
Viele Grüße
......................................................................................................................................
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=511816
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mi 16.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Die Abbildung D : V [mm] \to [/mm] V leistet folgendes:
D ordnet einer Funktion f [mm] \in [/mm] V ihre Ableitung zu: D(f)=f'
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mi 16.01.2013 | | Autor: | locke123 |
D.h. ich muss die Linearität von den beiden jeweiligen Funktionen zeigen? Habe ich das richtig verstanden?
Und nochmal zur Beschränktheit, wie zeige ich diese? Oder reicht es die Linearität zu zeigen?
Viele Grüße
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Hallo locke123,
> D.h. ich muss die Linearität von den beiden jeweiligen
> Funktionen zeigen? Habe ich das richtig verstanden?
Nein, du sollst die Linearität der Abbildung $D$ zeigen ...
>
> Und nochmal zur Beschränktheit, wie zeige ich diese?
Ich interpretiere das so, dass gemeint ist, dass $D$ nicht aus $V$ heraus abbildet.
> Oder
> reicht es die Linearität zu zeigen?
>
>
> Viele Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mi 16.01.2013 | | Autor: | locke123 |
Ja nun, wenn f [mm] \in [/mm] V ist, was ist es dann? Es kann ja sin oder cos sein. Die sind ja eben beide Elemente von V.
Ich hätte nun die Linearität von D(sin) gezeigt, sowie die Linearität von D(cos). Was könnte es sonst sein? Sonst müsste ich ja beide Funktionen verknüpfen.
Oder zeige ich die Linearität [mm] D(\lambda*a [/mm] + b) = [mm] \lambda*D(a) [/mm] + D(a), wobei [mm] \lambda\in\IR, [/mm] sowie a = sin, b = cos. Das macht in meinen Augen irgendwie keinen Sinn.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja nun, wenn f [mm]\in[/mm] V ist, was ist es dann? Es kann ja sin
> oder cos sein. Die sind ja eben beide Elemente von V.
per Definitionem folgt $f [mm] \in <\sin,\;\cos>$ $\iff$ $\exists \lambda_1, \mu_1 \in \IR$: $f=\lambda_1*\sin+\mu_1*\cos\,,$ [/mm] wobei letzteres heißt:
$$f: [mm] \IR \to \IR \text{ mit }f(x)=\lambda_1*\sin(x)+\mu_1*\cos(x) \text{ für alle }x \in \IR\,.$$
[/mm]
> Ich hätte nun die Linearität von D(sin) gezeigt, sowie
> die Linearität von D(cos). Was könnte es sonst sein?
> Sonst müsste ich ja beide Funktionen verknüpfen.
Was willst Du uns hiermit sagen? Zeig' mal, was Du zeigen wolltest...
> Oder zeige ich die Linearität [mm]D(\lambda*a[/mm] + b) =
> [mm]\lambda*D(a)[/mm] + D(a), wobei [mm]\lambda\in\IR,[/mm] sowie a = sin, b
> = cos. Das macht in meinen Augen irgendwie keinen Sinn.
Doch - genau das macht mehr Sinn (wenn das ganz rechts stehende [mm] $D(a)\,$
[/mm]
doch eher ein [mm] $D(b)\,$ [/mm] ist - und Du auch noch [mm] $a,b\,$ [/mm] mal konkreter angibst).
Wobei ich es eher formulieren würde als
[mm] $$D(\lambda*f+\mu*g)=\lambda*D(f)+\mu*D(g)$$
[/mm]
für alle [mm] $\lambda,\mu \in \IR$ [/mm] und $f,g [mm] \in V\,,$ [/mm] also [mm] $f=\lambda_1*\sin+\mu_1*\cos$ [/mm] und [mm] $g=\lambda_2*\sin+\mu_2*\cos\,.$
[/mm]
Übrigens ist die Aufgabe sehr einfach, wenn man weiß: Ist [mm] $\tilde{f}: \IR \to \IR$ [/mm]
(also [mm] $\tilde{f} \in Abb(\IR,\IR)$) [/mm] differenzierbar, so ist - ich nehme jetzt mal ein
anderes Symbol - die Abbildung
[mm] $$\mathfrak{D}: \{g: \IR \to \IR:\;\;g \text{ ist differenzierbar}\} \to Abb(\IR,\IR)$$
[/mm]
mit
[mm] $$\mathfrak{D}(\tilde{f}):=\tilde{f}\,' \text{ für alle }\tilde{f} \in \{g: \IR \to \IR:\;\;g \text{ ist differenzierbar}\}$$
[/mm]
linear. Das folgt einfach, weil man hier weiß, dass für alle [mm] $\lambda,\mu \in \IR$
[/mm]
die Funktion [mm] $\lambda*\tilde{f}+\mu*\tilde{g}$ [/mm] differenzierbar ist, wenn [mm] $\tilde{f},\tilde{g}\,$ [/mm] dies sind
und weil dann nach den Rechenregeln der Differenzialrechnung gilt:
[mm] $$(\lambda*\tilde{f}+\mu*\tilde{g})\,'=\lambda*\tilde{f}\,'+\mu*\tilde{g}\,'\,.$$
[/mm]
Insofern ist es nicht erstaunlich, dass Deine Abbildung, nehmen wir mal an,
man hätte zunächst $D: V [mm] \to Abb(\IR,\IR)$ [/mm] mit [mm] $D(f):=f\,'$ [/mm] definiert, linear
ist - interessanter ist doch eher, dass für $f [mm] \in [/mm] V$ auch [mm] $D(f)=f\,' \in [/mm] V$
gilt. Aber auch das ist nicht so spannend, und wenn man das beweißt, kann
man in einem auch nochmal die Linearität mitbeweisen/mitbenutzen:
Also strenggenommen hast Du zu zeigen: Sind $f,g [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\lambda,\mu \in \IR\,,$
[/mm]
so gilt:
[mm] $$D(\lambda*f+\mu*g)=\lambda*D(f)+\mu*D(g)\,,$$
[/mm]
und hierbei kann man nun benutzen, dass $f,g [mm] \in [/mm] V$ genau dann, wenn es
[mm] $\lambda_1,\lambda_2,\mu_1,\mu_2 \in \IR$ [/mm] so gibt, dass
[mm] $$f=\lambda_1*\sin+\mu_1*\cos$$
[/mm]
und
[mm] $$g=\lambda_2*\sin+\mu_2*\cos\,.$$
[/mm]
Damit kann man also den Anfang machen und schonmal hinschreiben (wenn
man es sich halt "schwerer als nötig" machen will):
[mm] $$D(\lambda*f+\mu*g)=(\lambda*f+\mu*g)\,'=(\lambda*(\lambda_1*\sin+\mu_1*\cos)+\mu*(\lambda_2*\sin+\mu_2*\cos))\,'=\ldots$$
[/mm]
(Jetzt benutze halt die Kenntnisse bzgl. Rechenregeln der Differentialrechnung
sowie auch [mm] $\sin\,'=\cos$ [/mm] und [mm] $\cos\,'=\;-\;\sin\,;$ [/mm] letzteres vor allem, um zu
sehen, dass in der Tat $D: V [mm] \to \red{\;V\;}$ [/mm] "überhaupt geschrieben werden
durfte"!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 Mi 16.01.2013 | | Autor: | locke123 |
> Hallo,
>
> > Ja nun, wenn f [mm]\in[/mm] V ist, was ist es dann? Es kann ja sin
> > oder cos sein. Die sind ja eben beide Elemente von V.
>
> per Definitionem folgt [mm]f \in <\sin,\;\cos>[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]\exists \lambda_1, \mu_1 \in \IR[/mm]:
> [mm]f=\lambda_1*\sin+\mu_1*\cos\,,[/mm] wobei letzteres heißt:
> [mm]f: \IR \to \IR \text{ mit }f(x)=\lambda_1*\sin(x)+\mu_1*\cos(x) \text{ für alle }x \in \IR\,.[/mm]
>
>
> > Ich hätte nun die Linearität von D(sin) gezeigt, sowie
> > die Linearität von D(cos). Was könnte es sonst sein?
> > Sonst müsste ich ja beide Funktionen verknüpfen.
>
> Was willst Du uns hiermit sagen? Zeig' mal, was Du zeigen
> wolltest...
>
> > Oder zeige ich die Linearität [mm]D(\lambda*a[/mm] + b) =
> > [mm]\lambda*D(a)[/mm] + D(a), wobei [mm]\lambda\in\IR,[/mm] sowie a = sin, b
> > = cos. Das macht in meinen Augen irgendwie keinen Sinn.
>
> Doch - genau das macht mehr Sinn (wenn das ganz rechts
> stehende [mm]D(a)\,[/mm]
> doch eher ein [mm]D(b)\,[/mm] ist - und Du auch noch [mm]a,b\,[/mm] mal
> konkreter angibst).
> Wobei ich es eher formulieren würde als
> [mm]D(\lambda*f+\mu*g)=\lambda*D(f)+\mu*D(g)[/mm]
> für alle [mm]\lambda,\mu \in \IR[/mm] und [mm]f,g \in V\,,[/mm] also
> [mm]f=\lambda_1*\sin+\mu_1*\cos[/mm] und
> [mm]g=\lambda_2*\sin+\mu_2*\cos\,.[/mm]
>
> Übrigens ist die Aufgabe sehr einfach, wenn man weiß: Ist
> [mm]\tilde{f}: \IR \to \IR[/mm]
> (also [mm]\tilde{f} \in Abb(\IR,\IR)[/mm]) differenzierbar, so ist -
> ich nehme jetzt mal ein
> anderes Symbol - die Abbildung
> [mm]\mathfrak{D}: \{g: \IR \to \IR:\;\;g \text{ ist differenzierbar}\} \to Abb(\IR,\IR)[/mm]
>
> mit
> [mm]\mathfrak{D}(\tilde{f}):=\tilde{f}\,' \text{ für alle }\tilde{f} \in \{g: \IR \to \IR:\;\;g \text{ ist differenzierbar}\}[/mm]
>
> linear. Das folgt einfach, weil man hier weiß, dass für
> alle [mm]\lambda,\mu \in \IR[/mm]
> die Funktion
> [mm]\lambda*\tilde{f}+\mu*\tilde{g}[/mm] differenzierbar ist, wenn
> [mm]\tilde{f},\tilde{g}\,[/mm] dies sind
> und weil dann nach den Rechenregeln der
> Differenzialrechnung gilt:
>
> [mm](\lambda*\tilde{f}+\mu*\tilde{g})\,'=\lambda*\tilde{f}\,'+\mu*\tilde{g}\,'\,.[/mm]
>
> Insofern ist es nicht erstaunlich, dass Deine Abbildung,
> nehmen wir mal an,
> man hätte zunächst [mm]D: V \to Abb(\IR,\IR)[/mm] mit [mm]D(f):=f\,'[/mm]
> definiert, linear
> ist - interessanter ist doch eher, dass für [mm]f \in V[/mm] auch
> [mm]D(f)=f\,' \in V[/mm]
> gilt. Aber auch das ist nicht so spannend,
> und wenn man das beweißt, kann
> man in einem auch nochmal die Linearität
> mitbeweisen/mitbenutzen:
> Also strenggenommen hast Du zu zeigen: Sind [mm]f,g \in V[/mm] und
> [mm]\lambda,\mu \in \IR\,,[/mm]
> so gilt:
> [mm]D(\lambda*f+\mu*g)=\lambda*D(f)+\mu*D(g)\,,[/mm]
> und hierbei kann man nun benutzen, dass [mm]f,g \in V[/mm] genau
> dann, wenn es
> [mm]\lambda_1,\lambda_2,\mu_1,\mu_2 \in \IR[/mm] so gibt, dass
> [mm]f=\lambda_1*\sin+\mu_1*\cos[/mm]
> und
> [mm]g=\lambda_2*\sin+\mu_2*\cos\,.[/mm]
>
> Damit kann man also den Anfang machen und schonmal
> hinschreiben (wenn
> man es sich halt "schwerer als nötig" machen will):
>
> [mm]D(\lambda*f+\mu*g)=(\lambda*f+\mu*g)\,'=(\lambda*(\lambda_1*\sin+\mu_1*\cos)+\mu*(\lambda_2*\sin+\mu_2*\cos))\,'=\ldots[/mm]
>
> (Jetzt benutze halt die Kenntnisse bzgl. Rechenregeln der
> Differentialrechnung
> sowie auch [mm]\sin\,'=\cos[/mm] und [mm]\cos\,'=\;-\;\sin\,;[/mm] letzteres
> vor allem, um zu
> sehen, dass in der Tat [mm]D: V \to \red{\;V\;}[/mm] "überhaupt
> geschrieben werden
> durfte"!)
>
> Gruß,
> Marcel
Danke, hat mir sehr weitergeholfen!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mi 16.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> D.h. ich muss die Linearität von den beiden jeweiligen
> Funktionen zeigen? Habe ich das richtig verstanden?
>
> Und nochmal zur Beschränktheit, wie zeige ich diese? Oder
> reicht es die Linearität zu zeigen?
Ja, denn V ist 2- dimensional.
Jede lineare Abbildung eines endlichdimensionslen normierten Raumes in sich ist stetig (=beschränkt)
FRED
>
>
> Viele Grüße
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> Es bezeichne sin (bzw. cos) die trigonometrischen
> Funktionen sin: [mm]\IR \to \IR,[/mm] t [mm]\to[/mm] sin(t) (bzw. cos: [mm]\IR \to \IR,[/mm]
> t [mm]\to[/mm] cos(t)). Sei V:=< sin, cos > [mm]\subset Abb(\IR,\IR),[/mm]
> der von sin und cos aufgespannte [mm]\IR-Untervektorraum[/mm] aller
> reellwertiger Funktionen auf [mm]\IR.[/mm]
Hallo,
das ist wohl eher ein Unterraum des Raumes aller reellwertigen Funktionen auf R.
Nun schauen wir V mal genauer an.
Der Raum wird aufgespannt von sin und cos, also ist (sin, cos) ein Erzeugendensystem von V, und weil sin und cos linear unabhängig sind, kennen wir gleich schon eine Basis B von V, nämlich B:=(sin, cos).
Ich habe den Eindruck, daß Du die Aufgabe irgendwie verstümmelt hast. Es ist nämlich ziemlich komisch, daß nach der Matrix [mm] M_{B}^{B}(D) [/mm] gefragt wird, ohne daß erklärt wurde, was B sein soll.
Wir nehmen jetzt mein B.
> Sei D die Abbildung D(f) = f', wobei f' die Ableitung von f
> bezeichne.
> Zeigen Sie, dass D sich zu einer linearen
> Abbildung V [mm]\to[/mm] V beschränkt
Was ist denn das für eine seltsame Formulierung?
Hm. Vielleicht wurde D zuvor als Funktion aus dem Raum der reellwertigen Funktionen in den Raum der reellwertigen Funktionen betrachtet?
Du sollst nun wohl zeigen, daß D, betrachtet als Funktion von V nach V, linear ist.
Zu zeigen ist also, daß für alle [mm] g,f\in [/mm] V und für alle [mm] \lambda\in \IR [/mm] gilt:
[mm] D(f)\in [/mm] V
D(f+g)=D(f)+D(g)
und
[mm] D(\lambda f)=\lambda [/mm] D(f).
Das könntest Du nun mal tun.
Achso, zuvor sollten wir noch klären, wie die Elemente von V aussehen:
es sind Funktionen, und zwar sind sie so gemacht, daß sie Linearkombinationen und sin und cos sind.
Danach kannst Du Dich dann ans Aufstellen der Matrix machen. Weißt Du, wie das geht?
LG Angela
> und bestimmen Sie die
> Darstellungsmatrix [mm]M_{B}^{B}(D).[/mm]
> Woher kommt das f? Das wurde nirgends definiert oder klar
> gemacht, was das sein soll. Ist das f entweder sin oder
> cos? Oder ist f, sin und cos verknüpft, falls ja, welche
> Verknüpfung?
>
> Die Darstellungsmatrix ist nicht das Problem. Nur die
> Lineare Abbildung zeigen, darauf komme ich leider nicht.
> Muss ich auch die Beschränktheit zeigen, weil eine
> beschränkte lineare Abbildung hatten wir noch nicht
> durchgenommen, soweit ich mich erinnern kann.
>
> Würde mich über einen Ansatz oder einen Tipp freuen.
>
>
> Viele Grüße
>
>
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> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=511816
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