sin(x)^3 < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \int_{}^{}{sin^3(x) dx} [/mm] |
Ist das so richtig?
[mm] \int_{}^{}{sin^3(x) dx}
[/mm]
[mm] \int_{}^{}{sin^2(x)*sin(x) dx}
[/mm]
u' = sin(x)
u = -cos(x)
v = [mm] sin^2(x)
[/mm]
v' = 2cos(x)
[mm] -cos(x)sin^2(x)+2\int_{}^{}{cos^2(x)dx}
[/mm]
[mm] cos^2(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(1+cos(2x))
[/mm]
[mm] -cos(x)sin^2(x)+\frac{1}{2}\int_{}^{}{(1+cos(2x))dx}
[/mm]
z=2x
z'=2
[mm] dx=\frac{1}{2}dz
[/mm]
[mm] -cos(x)sin^2(x)+\frac{1}{4}[z+sin(z)]
[/mm]
[mm] -cos(x)sin^2(x)+\frac{1}{4}[2x+sin(2x)]
[/mm]
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Hallo DrNetwork,
> [mm]\int_{}^{}{sin^3(x) dx}[/mm]
> Ist das so richtig?
>
> [mm]\int_{}^{}{sin^3(x) dx}[/mm]
> [mm]\int_{}^{}{sin^2(x)*sin(x) dx}[/mm]
>
> u' = sin(x)
> u = -cos(x)
> v = [mm]sin^2(x)[/mm]
> v' = 2cos(x)
Die Ableitung von [mm]v=\sin^{2}\left(x\right)[/mm] wird mit Hilfe der Kettenregel bestimmt.
>
> [mm]-cos(x)sin^2(x)+2\int_{}^{}{cos^2(x)dx}[/mm]
> [mm]cos^2(x)[/mm] = [mm]\frac{1}{2}(1+cos(2x))[/mm]
> [mm]-cos(x)sin^2(x)+\frac{1}{2}\int_{}^{}{(1+cos(2x))dx}[/mm]
> z=2x
> z'=2
> [mm]dx=\frac{1}{2}dz[/mm]
> [mm]-cos(x)sin^2(x)+\frac{1}{4}[z+sin(z)][/mm]
> [mm]-cos(x)sin^2(x)+\frac{1}{4}[2x+sin(2x)][/mm]
>
Gruß
MathePower
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genau da dacht ich auch das ich ein fehler gemacht haben konnte, meine überlegung war so
innere Ableitung mal äußere das heisst für mich
die äußere wäre ja die Potenz und das sin die innere das x
wo liegt mein denkfehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrNetwork!
Gemäß  Kettenregel gilt für $v \ = \ [mm] \sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] \left[\sin(x)\right]^2$ [/mm] :
$$v' \ = \ [mm] 2*\sin^1(x)*\cos(x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$$
[/mm]
Dies kann man nun noch vereinfachen zu (wenn man mag): $v' \ = \ ... \ = \ [mm] \sin(2x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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also versteh ich das richtig
zu erst leitet man außen und innen dann noch mal innen und multipliziert ab:
[mm] sin(x)^2
[/mm]
2(cos(x))
2(cos(x))*sin(x)
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Hallo DrNetwork,
> also versteh ich das richtig
>
> zu erst leitet man außen und innen dann noch mal innen und
> multipliziert ab:
>
> [mm]sin(x)^2[/mm]
> 2(cos(x))
> 2(cos(x))*sin(x)
>
Ja, das verstehst Du richtig.
Gruß
MathePower
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Ist das nun in Ordnung:
> > [mm]\int_{}^{}{sin^3(x) dx}[/mm]
> > [mm]\int_{}^{}{sin^2(x)*sin(x) dx}[/mm]
>
> >
> > u' = sin(x)
> > u = -cos(x)
> > v = [mm]sin^2(x)[/mm]
v' = 2cos(x)sin(x)
= [mm] -cos(x)sin^2(x)+2\int_{}^{}{cos^2(x)sin(x)dx}
[/mm]
[mm] sin^2(x)=1-cos^2(x)
[/mm]
[mm] -sin^2(x)+1=cos^2(x)
[/mm]
= [mm] -cos(x)sin^2(x)+2\int_{}^{}{(-sin^2(x)+1)sin(x)dx}
[/mm]
= [mm] -cos(x)sin^2(x)-2\int_{}^{}{sin^3(x)dx}+2\int_{}^{}{sin(x)dx}
[/mm]
= [mm] -cos(x)sin^2(x)-2cos(x)-2\int_{}^{}{sin^3(x)dx}
[/mm]
[mm] \int_{}^{}{sin^3(x)dx}+2\int_{}^{}{sin^3(x)dx} [/mm] = [mm] -cos(x)sin^2(x)-2cos(x)
[/mm]
[mm] \int_{}^{}{sin^3(x)dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{3}(-cos(x)sin^2(x)-2cos(x))
[/mm]
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt !
Ich möchte aber noch einen anderen Lösungsweg
vorschlagen:
$\ [mm] \integral sin^3(x)\,dx\ [/mm] =\ [mm] \integral sin^2(x)*sin(x)\,dx\ [/mm] =\ [mm] \integral (\underbrace{cos^2(x)-1}_{u^2-1})*(\underbrace{-sin(x)\,dx}_{du})$
[/mm]
... und man hat das Ergebnis im Nu !
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Do 09.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Ein schöner Reim:
[mm] \integral_{}^{}{(u^2-1) du}
[/mm]
> ... und man hat das Ergebnis im Nu !
>
Glückwunsch
FRED
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> LG Al-Chwarizmi
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