sin(x)cos(x) integrieren < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Sa 26.12.2009 | | Autor: | Sebbl |
| Aufgabe | | Bilde das unbestimmte Integral von [mm]e(x) = sin(x) * cos(x)[/mm] (mit [mm]u = sin(x)[/mm]). |
Hallo,
über Substitution mit [mm]u=cos(x)[/mm] kommt man auf das Ergebnis [mm]E(x)=-0.5*cos^2(x)+C[/mm]
Das ist für mich absolut nachvollziehbar. Mein Problem ist nur, dass ich, wenn ich [mm]u = sin(x)[/mm] setze, nicht auf das korrekte Ergebnis komme:
[mm] \bruch{du}{dx}=cox(x) [/mm] ; [mm]dx = \bruch{du}{cox(x)}[/mm]
[mm]E(u)= \integral{u*cos(x)*\bruch{du}{cos(x)}} = \integral{u du} = 0.5*u^2[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]E(x) = 0.5*sin^2(x) + C[/mm]
In der Lösung steht allerdings, dass das Ergebnis [mm]E(x)=0.5*sin^2(x) -0.5+C[/mm] lauten müsste, was mir angesichts der Gleichung [mm]sin^2(x)+cos^2(x)=1[/mm] auch logisch erscheint.
Die Frage ist nun also: Wo kriege ich das fehlende -0.5 her?
Grüße,
Sebbl
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> .......
> Teilweise etwas langwierig mit viel Geschwafel ....
... und einer ganzen Reihe von Fehlern, die dann
nachträglich korrigiert werden ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Sa 26.12.2009 | | Autor: | Sebbl |
Hi Chris,
danke für die schnelle Antwort!
Wenn ich das jetzt richtig interpretiere, ist meine Lösung also auch korrekt, weil sich die -0,5 in der Integrationskonstanten "verstecken"? Kann man das so sagen?
Hatte mir sowas fast schon gedacht, den Gedanken dann aber doch wieder verworfen, vor allem da in der Lösung steht, man käme mit [mm]u=sin(x)[/mm] über Substitution auf das Ergebnis mit -0,5 (leider steht kein genauer Rechenweg dabei).
Die anderen Lösungswege habe ich hier auch, aber mir ging's jetzt nur darum, wo die -0,5 hin verschwunden ist bei der Lösung über Substitution.
Grüße,
Sebbl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Sa 26.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi Chris,
>
> danke für die schnelle Antwort!
>
> Wenn ich das jetzt richtig interpretiere, ist meine Lösung
> also auch korrekt, weil sich die -0,5 in der
> Integrationskonstanten "verstecken"? Kann man das so
> sagen?
Ja, eine Stammfunktion ist nur bis auf einen additive Konstante eindeutig.
So auch für $ e(x) = sin(x) [mm] \cdot{} [/mm] cos(x) $
FRED
>
> Hatte mir sowas fast schon gedacht, den Gedanken dann aber
> doch wieder verworfen, vor allem da in der Lösung steht,
> man käme mit [mm]u=sin(x)[/mm] über Substitution auf das Ergebnis
> mit -0,5 (leider steht kein genauer Rechenweg dabei).
>
> Die anderen Lösungswege habe ich hier auch, aber mir
> ging's jetzt nur darum, wo die -0,5 hin verschwunden ist
> bei der Lösung über Substitution.
>
> Grüße,
> Sebbl
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