sind die ebenen identisch? < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Mo 28.02.2011 | | Autor: | susi111 |
| Aufgabe | prüfe, ob die beiden üaramterdarstellungen dieselbe ebene beschreiben.
[mm] E_{1}: \overrightarrow{OX}=\vektor{3 \\ 1\\4}+l*\vektor{-2 \\ 3\\-1}+m*\vektor{0 \\ 1\\3}
[/mm]
[mm] E_{2}: \overrightarrow{OX}=\vektor{5 \\ 0\\11}+n*\vektor{-4 \\5\\-5}+o*\vektor{-2 \\ 4\\4} [/mm] |
wenn die ebenen identisch sind, müssen ja die spurgeraden oder die punkte mit den koordinatenachsen gleich sein.
aber wie bekomme ich das jetzt heraus?
wenn ich x=0 haben will, muss ich l=1,5 setzen. dann bekomme ich (0|...|...)
. jetzt will ich wissen, was m ist. dann setze ich m=5,5, dann bekomme ich (...|0|...).
ich glaub irgendwie, dass meine denkweise gerade falsch ist, weil das ja nicht sein kann, weil ich für ... sonst nichts gescheites rauskriege.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Mo 28.02.2011 | | Autor: | abakus |
> prüfe, ob die beiden üaramterdarstellungen dieselbe ebene
> beschreiben.
>
> [mm]E_{1}: \overrightarrow{OX}=\vektor{3 \\ 1\\4}+l*\vektor{-2 \\ 3\\-1}+m*\vektor{0 \\ 1\\3}[/mm]
>
> [mm]E_{2}: \overrightarrow{OX}=\vektor{5 \\ 0\\11}+n*\vektor{-4 \\5\\-5}+o*\vektor{-2 \\ 4\\4}[/mm]
>
> wenn die ebenen identisch sind, müssen ja die spurgeraden
> oder die punkte mit den koordinatenachsen gleich sein.
>
> aber wie bekomme ich das jetzt heraus?
>
> wenn ich x=0 haben will, muss ich l=1,5 setzen. dann
> bekomme ich (0|...|...)
> . jetzt will ich wissen, was m ist. dann setze ich m=5,5,
> dann bekomme ich (...|0|...).
> ich glaub irgendwie, dass meine denkweise gerade falsch
> ist, weil das ja nicht sein kann, weil ich für ... sonst
> nichts gescheites rauskriege.
Hallo,
es gibt einfachere Herangehensweisen:
a) Erstelle dir drei Punkte der Ebene 1, die nicht auf einer Geraden liegen (z.B. mit l=m=0, l=0 und m=1 bzw. l=1, m=0).
Teste, ob diese drei Punkte auch in der zweiten Ebene liegen.
b) Erstelle mit dem Vektorprodukt für jede Ebene einen Normalenvektor (bei parallelen oder identischen Ebenen sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander) und teste -falls dies der Fall ist - einen einzigen Punkt, ob er beiden Ebenen angehört.
Gruß Abakus
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Mo 28.02.2011 | | Autor: | susi111 |
> > prüfe, ob die beiden üaramterdarstellungen dieselbe ebene
> > beschreiben.
> >
> > [mm]E_{1}: \overrightarrow{OX}=\vektor{3 \\ 1\\4}+l*\vektor{-2 \\ 3\\-1}+m*\vektor{0 \\ 1\\3}[/mm]
>
> >
> > [mm]E_{2}: \overrightarrow{OX}=\vektor{5 \\ 0\\11}+n*\vektor{-4 \\5\\-5}+o*\vektor{-2 \\ 4\\4}[/mm]
>
> >
> > wenn die ebenen identisch sind, müssen ja die spurgeraden
> > oder die punkte mit den koordinatenachsen gleich sein.
> >
> > aber wie bekomme ich das jetzt heraus?
> >
> > wenn ich x=0 haben will, muss ich l=1,5 setzen. dann
> > bekomme ich (0|...|...)
> > . jetzt will ich wissen, was m ist. dann setze ich
> m=5,5,
> > dann bekomme ich (...|0|...).
> > ich glaub irgendwie, dass meine denkweise gerade falsch
> > ist, weil das ja nicht sein kann, weil ich für ... sonst
> > nichts gescheites rauskriege.
> Hallo,
> es gibt einfachere Herangehensweisen:
> a) Erstelle dir drei Punkte der Ebene 1, die nicht auf
> einer Geraden liegen (z.B. mit l=m=0, l=0 und m=1 bzw. l=1,
> m=0).
> Teste, ob diese drei Punkte auch in der zweiten Ebene
> liegen.
> b) Erstelle mit dem Vektorprodukt für jede Ebene einen
> Normalenvektor (bei parallelen oder identischen Ebenen sind
> die Normalenvektoren Vielfache voneinander) und teste
> -falls dies der Fall ist - einen einzigen Punkt, ob er
> beiden Ebenen angehört.
> Gruß Abakus
> >
>
hmm... irgendwie verstehe ich das alles nicht. ich geh jetzt mal davon aus, dass ich den punkt auf der x-achse herausbekommen will, von beiden ebenen. wenn der punkt identisch ist, sind auch die ebenen identisch.
wie muss ich denn dann vorgehen?
|
|
|
| |
|
Hallo susi,
> hmm... irgendwie verstehe ich das alles nicht. ich geh
> jetzt mal davon aus, dass ich den punkt auf der x-achse
> herausbekommen will, von beiden ebenen. wenn der punkt
> identisch ist, sind auch die ebenen identisch.
Nein, nicht notwendig. Das ist Fall b) bei Abakus. Dazu musst Du aber erst einmal überprüfen, ob beide Ebenen den gleichen Normalenvektor haben, bzw. genauer: ob die beiden Normalenvektoren kollinear, also skalare Vielfache voneinander sind.
Erst dann und nur dann macht es Sinn, die weitere Überprüfung auf einen einzelnen Punkt (z.B. den Schnittpunkt mit der x-Achse) zu beschränken.
> wie muss ich denn dann vorgehen?
Bestimme die Normalenvektoren der Ebenen in den beiden gegebenen Darstellungen. Sind sie Vielfache voneinander?
Lies die Antworten, die Du bekommst, genau. Alles, was ich hier gerade schrieb, steht eigentlich schon bei Abakus, der sehr präzise formuliert hat.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Mo 28.02.2011 | | Autor: | susi111 |
> Hallo susi,
>
> > hmm... irgendwie verstehe ich das alles nicht. ich geh
> > jetzt mal davon aus, dass ich den punkt auf der x-achse
> > herausbekommen will, von beiden ebenen. wenn der punkt
> > identisch ist, sind auch die ebenen identisch.
>
> Nein, nicht notwendig. Das ist Fall b) bei Abakus. Dazu
> musst Du aber erst einmal überprüfen, ob beide Ebenen den
> gleichen Normalenvektor haben, bzw. genauer: ob die beiden
> Normalenvektoren kollinear, also skalare Vielfache
> voneinander sind.
>
> Erst dann und nur dann macht es Sinn, die weitere
> Überprüfung auf einen einzelnen Punkt (z.B. den
> Schnittpunkt mit der x-Achse) zu beschränken.
>
> > wie muss ich denn dann vorgehen?
>
> Bestimme die Normalenvektoren der Ebenen in den beiden
> gegebenen Darstellungen. Sind sie Vielfache voneinander?
>
> Lies die Antworten, die Du bekommst, genau. Alles, was ich
> hier gerade schrieb, steht eigentlich schon bei Abakus, der
> sehr präzise formuliert hat.
>
> Grüße
> reverend
>
kannst du mir erklären, was normalenvektoren sind?
danke schonmal^^
|
|
|
| |
|
Aha. Die Frage erklärt alles. 
Hallo nochmal,
ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene. Man kann ihn "normieren", dann hat er die Länge 1. Das ist oft praktisch, wenn man Ebenen vergleichen will (wie hier), oder Abstände berechnet. Nötig ist es aber nicht. Außerdem bleiben dann bei jeder Ebene immer noch zwei Normalenvektoren, die in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Zur Veranschaulichung: Leg ein Blatt Papier auf den Tisch, das ist ein Stück der Ebene, die wir betrachten. Einer der Normalenvektoren steht senkrecht darauf (nimm einen Bleistift und stell ihn hin, egal wo...). Der andere würde nach unten zeigen, also so, als ob man den Bleistift unter der Tischplatte aufhängen könnte oder sogar durch das Papier senkrecht durch die Ebene schlagen könnte.
Habt Ihr denn die Hessesche Normal(en)form nicht gehabt?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Mo 28.02.2011 | | Autor: | susi111 |
> Aha. Die Frage erklärt alles.
>
> Hallo nochmal,
>
> ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene. Man kann
> ihn "normieren", dann hat er die Länge 1. Das ist oft
> praktisch, wenn man Ebenen vergleichen will (wie hier),
> oder Abstände berechnet. Nötig ist es aber nicht.
> Außerdem bleiben dann bei jeder Ebene immer noch zwei
> Normalenvektoren, die in entgegengesetzte Richtungen
> zeigen. Zur Veranschaulichung: Leg ein Blatt Papier auf den
> Tisch, das ist ein Stück der Ebene, die wir betrachten.
> Einer der Normalenvektoren steht senkrecht darauf (nimm
> einen Bleistift und stell ihn hin, egal wo...). Der andere
> würde nach unten zeigen, also so, als ob man den Bleistift
> unter der Tischplatte aufhängen könnte oder sogar durch
> das Papier senkrecht durch die Ebene schlagen könnte.
>
> Habt Ihr denn die Hessesche Normal(en)form nicht gehabt?
>
> Grüße
> reverend
>
nee, haben wir nicht. ich hab noch nie etwas davon gehört^^
also kann ich das nicht anwenden, was ihr versucht, mir zu erklären?
wie soll ich es denn anders herauskriegen?
als ergebnis soll rauskommen, dass für
[mm] E_{1} [/mm] x-achse (2,8|0|0)
[mm] E_{2} [/mm] x-achse (3,35|0|0)
und das soll dann heißen, dass die ebenen nicht identisch sind.
aber ich weiß nicht wie man auf die punkte kommt, und das ist mein problem...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Di 01.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du irgend ein l und m einsetzt bekommst du doch einen punkt in der Ebene, einen hast du schon den Aufpunkt, 2 weitere am einfachsten mit l=0;m=1 und l=1; m=0 dann hast du 3 punkte in der ebene 1
die setzest du in die ebene 2 ein. wenn nicht alle drei drin liegen, ist es nicht dieselbe Ebene.
als die 3 Punkte kannst du natürlich auch die 3 nehmen, die auf der x- achse, auf der y- achse und auf der z- achse liegen.
Aber irgend 3 andere tun es auch.
Fang mit dem Aufpunkt an: der von E1 muss in E2 liegen, der von E2 in E1
wenn sie das tun haben die ebenen schon die 2 punkte gemeinsam. fehlt ein dritter. nimm irgendeinen aus E1 undsieh nach ob er in E2 liegt. wenn du dann 3 punkte hast die in beiden ebenen liegen, sind sie gleich, wenn nicht ungleich
Schaffst du das?
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Di 01.03.2011 | | Autor: | abakus |
> > Aha. Die Frage erklärt alles.
> >
> > Hallo nochmal,
> >
> > ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene. Man kann
> > ihn "normieren", dann hat er die Länge 1. Das ist oft
> > praktisch, wenn man Ebenen vergleichen will (wie hier),
> > oder Abstände berechnet. Nötig ist es aber nicht.
> > Außerdem bleiben dann bei jeder Ebene immer noch zwei
> > Normalenvektoren, die in entgegengesetzte Richtungen
> > zeigen. Zur Veranschaulichung: Leg ein Blatt Papier auf den
> > Tisch, das ist ein Stück der Ebene, die wir betrachten.
> > Einer der Normalenvektoren steht senkrecht darauf (nimm
> > einen Bleistift und stell ihn hin, egal wo...). Der andere
> > würde nach unten zeigen, also so, als ob man den Bleistift
> > unter der Tischplatte aufhängen könnte oder sogar durch
> > das Papier senkrecht durch die Ebene schlagen könnte.
> >
> > Habt Ihr denn die Hessesche Normal(en)form nicht gehabt?
> >
> > Grüße
> > reverend
> >
>
> nee, haben wir nicht. ich hab noch nie etwas davon
> gehört^^
>
> also kann ich das nicht anwenden, was ihr versucht, mir zu
> erklären?
> wie soll ich es denn anders herauskriegen?
>
> als ergebnis soll rauskommen, dass für
> [mm]E_{1}[/mm] x-achse (2,8|0|0)
> [mm]E_{2}[/mm] x-achse (3,35|0|0)
> und das soll dann heißen, dass die ebenen nicht identisch
> sind.
> aber ich weiß nicht wie man auf die punkte kommt, und das
> ist mein problem...
>
Hallo,
für alle Punkte auf der x-Achse gilt, dass die y- und die z-Koordinate dieser Punkte Null ist.
Für die erste Ebenengleichung
$ [mm] \overrightarrow{OX}=\vektor{3 \\ 1\\4}+l\cdot{}\vektor{-2 \\ 3\\-1}+m\cdot{}\vektor{0 \\ 1\\3} [/mm] $
bedeutet dies:
1+3*l+1*m=0
und
4-1*l+3*m=0 .
Das sind zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten m und l, die nun ermittelt werden können (lineares Gleichungssystem).
Mit diesen beiden Werten bekommst du nun auch die x-Koordinate des gesuchten Punktes.
Gruß Abakus
|
|
|
|
