sinus und cosinus im C < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hay leuts,
für z [mm] \in \IC [/mm] ist der sinus definiert als :
cos(z) = [mm] \bruch{1}{2} \left( e^{iz}+e^{-iz} \right)
[/mm]
die frage die sich mir stellt ist, was zur hoelle heisst iz in diesem zusammenhang ????? nur der imaginärteil ? i*|z| oder wie oder was ???
die frage ist fuer mich immanent geworden weil ich mir
cos(x+iy) =cos(x)cosh(y)-isin(x)sinh(y)
herleiten wollte, ich ascheiter aber schon daran, die zahl z richtig in die potenz einzubasteln, um sie auseinanderziehen zu koennen ... hilfäää
noch ne duemmere frage, der ausdruck ( x+iy) ist doch schon eine komplexe zahl, oder irre ich da wieder ?!"?!? wieso ist dann das auf einmal was anderes als oben definiert wurde ...
danke
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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ich habe eine weitere version, bei der ich nicht weiss was mit -ix passiert ... also
was ist
[mm] e^{ix}+e^{-ix} [/mm] ?
mein ansatz dazu lautet :
[mm] e^{ix}+e^{-ix} [/mm] = (cos x + i sinx ) + ( cos -x + i sin (-x) )
kann das so richtig sein ?!??!
umso peinlicher das sich diese ganzen ansichten aus der definition mittels der tollen eulerschen formel ergeben ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Max |
Ja, ist soweit richtig, wenn du jetzt noch [mm] $\cos(-x)=\cos(x)$ [/mm] und [mm] $\sin(-x)=-\sin(x)$ [/mm] nutzt siehst du, dass
[mm] $\cos(x)=\frac{1}{2}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)$. [/mm]
Die Eulerformel [mm] $e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)$ [/mm] kann man aus der Reihendarstellung der Exponentialfunktion herleiten.
Gruß Brackhaus
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> Ja, ist soweit richtig, wenn du jetzt noch [mm]\cos(-x)=\cos(x)[/mm]
> und [mm]\sin(-x)=-\sin(x)[/mm] nutzt siehst du, dass
NAJA; DAS HAETTE ICH EIGENTLICH AUCH WISSEN MUESSEN +SCHAEMEINBISCHEN+
naja, aber jetzt sehe ich es wenigens ... das sich der imaginaerteil komplett wegkuerzt ... ;) *freu*
schade, am donnerstach ist klausur ... DANKE AN ALLE SCHONMAL !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Max |
Nein, es ist schon die komplette komplexe Zahl $iz=i(x+iy)=ix-y$ gemeint. Wenn du den Faktor [mm] $e^{-y}$ [/mm] ausklammerst und die Formel aus deiner nächsten Frage nimmst, kannst du das gewünschte nachweisen.
(Also, $z=x+iy$ ist eine komplexe Zahl, aber $iz$ ist auch eine komplexe Zahl.)
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ahso, danke,
i(x+iz) = ix-z
das minus erscheint bei z wegen i*i=-1 und der imaginaerteil wird quasi vertauscht, gut, das ich das jetzt auch weiss ;)
das i vorne besagt quasi nur, das die potenz immer imaginaer gemacht wird, falls
i(z) da steht, wird daraus quasi die komplexe zahl (0+iz ) richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Max |
Ja und nein. Du hast schon Recht, wenn $z$ eine reele Zahl ist wird $iz$ komplex. Aber du berechnest ja gerade den komplexen Cosinus, d.h. $z$ kann auch schon alleine komplex sein. Durch den Faktor $i$ wird halt nur eine andere komplexe Zahl draus.
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was ist ueberhaupt [mm] x^y [/mm] wenn y komplex ist ?
googeln ergibt
2^(0 + 2i) = 0.183456975 + 0.98302774 i
das heisst das warhaftig [mm] e^{iz} [/mm] warhaftig [mm] |e^{iz}|=1 [/mm] ist ... bemerkenswert .. aber was wird ueberhaupt gerechnet ?
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Hallo.
> was ist ueberhaupt [mm]x^y[/mm] wenn y komplex ist ?
>
> googeln ergibt
> 2^(0 + 2i) = 0.183456975 + 0.98302774 i
>
> das heisst das warhaftig [mm]e^{iz}[/mm] warhaftig [mm]|e^{iz}|=1[/mm] ist
> ... bemerkenswert .. aber was wird ueberhaupt gerechnet ?
Keine Panik. y ist komplex, d.h. es gibt eindeutig bestimmte reelle Zahlen a,b mit y=a+bi.
Dann ist (für x>0 reell): [mm] $x^y=x^{a+bi}=x^a*x^{bi}=x^a*e^{bi\ln{x}}$ [/mm]
und nach der Formel von Euler: [mm] $=x^a*(\cos(b\ln{x})+i*\sin(b\ln{x}))$.
[/mm]
Zu [mm] $|e^{iz}|$:
[/mm]
[mm] $|e^{iz}|=|\cos{z}+i\sin{z}|=\Wurzel{\cos^2{z}+\sin^2{z}}$=1,
[/mm]
wobei das erste Gleichheitszeichen die Euler-Formel ist und das zweite die Definition des komplexen Betrags eingesetzt.
Das dritte ist der trigonometrische Pythagoras.
Das wars eigentlich auch schon.
Gruß,
Christian
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