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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:38 Do 16.06.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | sei X der reelle Vektorraum der reellen Folgen, die schließlich konstant Null sind, das heißt, eine reelle Folge [mm] x=(x_n)_{n\in\IN}, x_n \in\IR [/mm] für alle [mm] n\in\IN, [/mm] ist genau dann ein Element von X, wenn es ein N [mm] \in\IN [/mm] gibt mit [mm] x_n=0 [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N. Für [mm] x=(x_n)_{n\in\IN} \in [/mm] X und [mm] y=(y_n)_{n\in\IN}
[/mm]
[mm] \in [/mm] X können wir ein skalarprodukt definieren durch
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}x_n y_n
[/mm]
definieren. berechnen sie nun das skalarprodukt der folgenden Vektoren [mm] x,y\in [/mm] X.
[mm] x_n= [/mm] n für n [mm] \le [/mm] 120
0 für n > 120
[mm] y_n [/mm] = 1 für n [mm] \le [/mm] 100
0 für n > 100 |
das ganze musste ich neu tippen weil das davor mit code einfach nicht ging, deshalb diemal ohne code, sorry
dabei soll man an die geometrische reihe denken, also
S = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k
[/mm]
aber ich weiß nicht wie ich anfangen soll und wie ich hier mit geom. reihe rechnen soll, kann jmd mir par tipps geben?
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> [mm]x_n=\begin{cases} n, & \mbox{für } n \mbox{ \le120} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ >120} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]y_n=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ \le100} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ >100} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
>
>
> dabei soll man an die geometrische reihe denken, also
> S = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm]
> aber ich weiß nicht wie
> ich anfangen soll und wie ich hier mit geom. reihe rechnen
> soll, kann jmd mir par tipps geben?
Hallo kioto,
das ist jetzt die zweite Version einer Aufgabe, die man
auch jetzt noch nicht lesen und verstehen kann !
Komplettiere doch bitte eine Version und lösche die
andere !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Do 16.06.2011 | | Autor: | kioto |
> > [mm]x_n=\begin{cases} n, & \mbox{für } n \mbox{ \le120} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ >120} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > [mm]y_n=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ \le100} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ >100} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > [mm]f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> >
> >
> >
> > dabei soll man an die geometrische reihe denken, also
> > S = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm]
> > aber ich weiß nicht
> wie
> > ich anfangen soll und wie ich hier mit geom. reihe rechnen
> > soll, kann jmd mir par tipps geben?
>
>
> Hallo kioto,
>
> das ist jetzt die zweite Version einer Aufgabe, die man
> auch jetzt noch nicht lesen und verstehen kann !
>
> Komplettiere doch bitte eine Version und lösche die
> andere !
>
diesmal kann man doch lesen, also bei mir schon....
ich weiß nicht wie man die andere löscht, steht ja nicht unter reaktionsmöglichkeit
> LG
>
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Hallo kioto,
in der neuesten Version (v5) der Aufgabe kann man nun
doch sehen, um welchen Raum und um welches Skalar-
produkt es sich handeln soll.
Zur Lösung: schreib dir doch den Term für das gesuchte
Skalarprodukt aus (ohne Summenzeichen) und mach dir
klar, was dabei heraus kommt. Das Beispiel erinnert
übrigens an eine alte (und möglicherweise nicht ganz
korrekt tradierte) Legende über einen Vorfall aus der
Kindheit eines Mannes, den man in späteren Zeiten
etwa "Princeps Mathematicorum" nannte ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:30 Fr 17.06.2011 | | Autor: | kioto |
> Hallo kioto,
>
> in der neuesten Version (v5) der Aufgabe kann man nun
> doch sehen, um welchen Raum und um welches Skalar-
> produkt es sich handeln soll.
> Zur Lösung: schreib dir doch den Term für das gesuchte
> Skalarprodukt aus (ohne Summenzeichen) und mach dir
> klar, was dabei heraus kommt. Das Beispiel erinnert
> übrigens an eine alte (und möglicherweise nicht ganz
> korrekt tradierte) Legende über einen Vorfall aus der
> Kindheit eines Mannes, den man in späteren Zeiten
> etwa "Princeps Mathematicorum" nannte ...
>
ich versuchs hier mal
a) für n > 100 brauch ich ja nicht rechnen, weils sowieso nur 0 raus kommt (oder nicht?)
für n [mm] \le [/mm] 50
<x,y>= [mm] (\bruch{1}{6})^1(\bruch{1}{2})^1 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{6})^2(\bruch{1}{2})^2 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{6})^3(\bruch{1}{2})^3 [/mm] .... [mm] (\bruch{1}{6})^n(\bruch{1}{2})^n
[/mm]
stimmt das erstmal so?
> LG Al-Chw.
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> a) für n > 100 brauch ich ja nicht rechnen, weils sowieso
> nur 0 raus kommt (oder nicht?) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> für n [mm]\le[/mm] 50
> <x,y>= [mm](\bruch{1}{6})^1(\bruch{1}{2})^1+(\bruch{1}{6})^2(\bruch{1}{2})^2+(\bruch{1}{6})^3(\bruch{1}{2})^3+ ....+ (\bruch{1}{6})^n(\bruch{1}{2})^n[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> stimmt das erstmal so?
Nein. Woher hast du plötzlich die Brüche und die Exponenten ?
(oder war die Aufgabe immer noch nicht richtig gestellt ?)
Es ist
$\ x*y\ =\ [mm] (1,2,3,4,....,120,0,0,0....)*(\underbrace{1,1,1,....,1}_{100},0,0,0,....)$
[/mm]
$\ =\ 1*1+2*1+3*1+....+100*1$
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Fr 17.06.2011 | | Autor: | kioto |
> > a) für n > 100 brauch ich ja nicht rechnen, weils sowieso
> > nur 0 raus kommt (oder nicht?)
> >
> > für n [mm]\le[/mm] 50
> > <x,y>=
> [mm](\bruch{1}{6})^1(\bruch{1}{2})^1+(\bruch{1}{6})^2(\bruch{1}{2})^2+(\bruch{1}{6})^3(\bruch{1}{2})^3+ ....+ (\bruch{1}{6})^n(\bruch{1}{2})^n[/mm]
>
> > stimmt das erstmal so?
>
>
> Nein. Woher hast du plötzlich die Brüche und die
> Exponenten ?
> (oder war die Aufgabe immer noch nicht richtig gestellt
> ?)
>
sorry, das war die andere teilaufgabe....
> Es ist
>
> [mm]\ x*y\ =\ (1,2,3,4,....,120,0,0,0....)*(\underbrace{1,1,1,....,1}_{100},0,0,0,....)[/mm]
>
> [mm]\ =\ 1*1+2*1+3*1+....+100*1[/mm]
>
für [mm] x_n [/mm] = [mm] (\bruch{1}{6})^n [/mm] für n [mm] \le [/mm] 99
[mm] y_n [/mm] = [mm] 6^n [/mm] für 50 < n [mm] \le [/mm] 100
ist das doch
[mm] (\bruch{1}{6})^{51}6^{51} [/mm] + ..... + [mm] (\bruch{1}{6})^{99}6^{99}
[/mm]
weiter zusammenfassen geht nicht mehr, stimmts?
> LG
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Tschuldigung, aber jetzt wird's mir irgendwie zu bunt.
Andere Teilaufgabe ? Nie gesehen - wo denn ?
Ich geb's auf ...
Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Fr 17.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
<x,y>
> [...] für [mm]x_n[/mm] = [mm](\bruch{1}{6})^n[/mm] für n [mm]\le[/mm] 99
> [mm]y_n[/mm] = [mm]6^n[/mm] für 50 < n [mm]\le[/mm] 100
> ist das doch
> [mm](\bruch{1}{6})^{51}6^{51}[/mm] ..... +
> [mm](\bruch{1}{6})^{99}6^{99}[/mm]
> weiter zusammenfassen geht nicht mehr, stimmts?
> > LG
Oh doch. Was ist denn [mm] \left(\frac{1}{6}\right)^{q}\cdot6^{q}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Fr 17.06.2011 | | Autor: | kioto |
>
> Hallo
> <x,y>
> > [...] für [mm]x_n[/mm] = [mm](\bruch{1}{6})^n[/mm] für n [mm]\le[/mm] 99
> > [mm]y_n[/mm] = [mm]6^n[/mm] für 50 < n [mm]\le[/mm] 100
> > ist das doch
> > [mm](\bruch{1}{6})^{51}6^{51}[/mm] ..... +
> > [mm](\bruch{1}{6})^{99}6^{99}[/mm]
> > weiter zusammenfassen geht nicht mehr, stimmts?
> > > LG
>
> Oh doch. Was ist denn
> [mm]\left(\frac{1}{6}\right)^{q}\cdot6^{q}[/mm]
>
ahhhhh ich bin so doof, siehs erst gerade jetzt, danke!
> Marius
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Hallo kioto,
> sei X der reelle Vektorraum der reellen Folgen, die
> schließlich konstant Null sind, das heißt, eine reelle
> Folge [mm]x=(x_n)_{n\in\IN}, x_n \in\IR[/mm] für alle [mm]n\in\IN,[/mm] ist
> genau dann ein Element von X, wenn es ein N [mm]\in\IN[/mm] gibt mit
> [mm]x_n=0[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N. Für [mm]x=(x_n)_{n\in\IN} \in[/mm] X und
> [mm]y=(y_n)_{n\in\IN}[/mm]
> [mm]\in[/mm] X können wir ein skalarprodukt definieren durch
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}x_n y_n[/mm]
> definieren. berechnen sie nun
> das skalarprodukt der folgenden Vektoren [mm]x,y\in[/mm] X.
>
>
> [mm]x_n=[/mm] n für n [mm]\le[/mm] 120
> 0 für n > 120
>
> [mm]y_n[/mm] = 1 für n [mm]\le[/mm] 100
> 0 für n > 100
>
>
> das ganze musste ich neu tippen weil das davor mit code
> einfach nicht ging, deshalb diemal ohne code, sorry
>
>
> dabei soll man an die geometrische reihe denken, also
> S = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm]
> aber ich weiß nicht wie
> ich anfangen soll und wie ich hier mit geom. reihe rechnen
> soll, kann jmd mir par tipps geben?
>
Hier ist wohl die "arithmetische Reihe" gemeint.
Dafür gibt es eine bekannte Summenformel.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Fr 17.06.2011 | | Autor: | kioto |
meinst du das hier?
[mm] S_n [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}[2a_1 [/mm] + (n-1)d]
aber wie macht man das mit der fallunterscheidung bei x und y? muss ich dann auch bei ergibnissen fallunterscheidung machen?
wir haben solche aufgaben in der form noch nie gehabt........
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Fr 17.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> meinst du das hier?
>
> [mm]S_n[/mm] = [mm]\bruch{n}{2}[2a_1[/mm] + (n-1)d]
Nein. Das
$ [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] i = [mm] \frac{n(n+1)}{2} [/mm] $
>
> aber wie macht man das mit der fallunterscheidung bei x und
> y? muss ich dann auch bei ergibnissen fallunterscheidung
> machen?
> wir haben solche aufgaben in der form noch nie
> gehabt........
Na und ?
Für n>100 ist doch [mm] x_ny_n=0
[/mm]
Für n [mm] \le [/mm] 100 ist [mm] $x_ny_n=n*1=n$. [/mm] Daher
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}x_ny_n= \summe_{n=1}^{100}n
[/mm]
>
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