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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - skizze einer komplexen Zahl
skizze einer komplexen Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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skizze einer komplexen Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Mi 08.12.2010
Autor: celeste16

Aufgabe
Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft [mm] \vmat{ \bruch{1}{z}+ \bruch{1}{\overline{z}}}\le1 [/mm]

Ich schaffe es einfach nicht, das in ne schöne Form zu bringen, um das dann zeichnen zu können. Ich habe:
z=a+bi

[mm] \vmat{ \bruch{1}{z}+ \bruch{1}{\overline{z}}}=\vmat{ \bruch{\overline{z}*+z}{z*\overline{z}}}=\vmat{ \bruch{2a}{\vmat{z}^2}}=\vmat{ \bruch{2a}{a^2+b^2}}\le [/mm] 1

wie kann ich das günstiger darstellen?


        
Bezug
skizze einer komplexen Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:58 Mi 08.12.2010
Autor: fred97


> Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge
> aller komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft [mm]\vmat{ \bruch{1}{z}+ \bruch{1}{\overline{z}}}\le1[/mm]
>  
> Ich schaffe es einfach nicht, das in ne schöne Form zu
> bringen, um das dann zeichnen zu können. Ich habe:
>  z=a+bi
>  
> [mm]\vmat{ \bruch{1}{z}+ \bruch{1}{\overline{z}}}=\vmat{ \bruch{\overline{z}*+z}{z*\overline{z}}}=\vmat{ \bruch{2a}{\vmat{z}^2}}=\vmat{ \bruch{2a}{a^2+b^2}}\le[/mm]
> 1
>  
> wie kann ich das günstiger darstellen?

Es folgt:

   (*)      $2|a| [mm] \le a^2+b^2$ [/mm]

Fall 1: a=0. Also erfüllen alle Zahlen  ib die Ungl.

Fall 2: a>0. (*)  [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le a^2-2a+1+b^2-1 \gdw [/mm]  1 [mm] \le (a-1)^2+b^2 [/mm]

                       was ist das geometrisch ?

Fall 3 . a<0  Mach Du mal.

FRED

>  


Bezug
                
Bezug
skizze einer komplexen Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Mi 08.12.2010
Autor: celeste16

a<0:
[mm] -2a=a^2+b^2 \Rightarrow 1\le (a+1)^2+b^2 [/mm]

erst mal zum Verständnis: alle ib ist die ganze Im-Achse?

-> a<0 ist ein Kreis mit dem radius 1 um (-1,0) und das definitionsgebiet ist alles um den Kreis rum
-> a<0 ist ein Kreis mit dem radius 1 um (1,0) und das definitionsgebiet ist alles um den Kreis rum

Bezug
                        
Bezug
skizze einer komplexen Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Mi 08.12.2010
Autor: MathePower

Hallo celeste16,


> a<0:
>  [mm]-2a=a^2+b^2 \Rightarrow 1\le (a+1)^2+b^2[/mm]
>  
> erst mal zum Verständnis: alle ib ist die ganze Im-Achse?


Ja.


>  
> -> a<0 ist ein Kreis mit dem radius 1 um (-1,0) und das
> definitionsgebiet ist alles um den Kreis rum
>  -> a<0 ist ein Kreis mit dem radius 1 um (1,0) und das

> definitionsgebiet ist alles um den Kreis rum


Die Einschränkungen a<0 bzw a>0 mußt Du
hier schon noch berücksichtigen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
skizze einer komplexen Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Mi 08.12.2010
Autor: celeste16

ich meinte:
-> a<0 ist ein Kreis mit dem radius 1 um (-1,0)
-> a>0 ist ein Kreis mit dem radius 1 um (1,0)

muss ich da noch mehr beachten? ich dächte das ist doch schon alles in der gleichung verwurstet....

Bezug
                                        
Bezug
skizze einer komplexen Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Mi 08.12.2010
Autor: leduart

Hallo
es ist nicht ganz klar, welche Gebiete der Gaussebene du jetzt ausnimmst bzw welche die Ungleichung erfüllen, d.h. du kannst wahrscheinlich das richtige denken, hast es aber nicht ausdrücklich gesagt.
Gruss leduart


Bezug
                                                
Bezug
skizze einer komplexen Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Mi 08.12.2010
Autor: celeste16

ok. also was ich jetzt gefolgert hätte ist, dass die gesamte ebene die ungleichung erfüllt, AUßER der Inhalt 2er Kreise mit dem Radius 1 um (-1,0) und (1,0).


Bezug
                                                        
Bezug
skizze einer komplexen Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Mi 08.12.2010
Autor: MathePower

Hallo celeste16,

> ok. also was ich jetzt gefolgert hätte ist, dass die
> gesamte ebene die ungleichung erfüllt, AUßER der Inhalt
> 2er Kreise mit dem Radius 1 um (-1,0) und (1,0).
>  


Ja, die Folgerung ist richtig.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
skizze einer komplexen Zahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:27 Mi 08.12.2010
Autor: celeste16

sehr schön. danke

Bezug
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