spezielle Folge, Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:07 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Niladhoc |
| Aufgabe | Man finde für alle [mm] a_{0},b,c \in \IR [/mm] den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] der rekursiven Folge [mm] a_{n+1}=log_{b}(a_{n}^c)
[/mm]
falls er existiert. |
Die Folge [mm] a_{n+1}=log_{b}(a_{n}^c) [/mm] scheint sich gegen jedes Konvergenzkriterium zu sträuben;
Ich habe lediglich folgende Formulierung des Problems gefunden:
Man fasse alle Glieder einer solchen Folge für jedes b und c in einer Äquivalenzklasse mit den Relationen [mm] \lambda a=log_{b}(a_{n}^c) [/mm] und
[mm] \lambda^{-1}=b^{(a/c)} [/mm] zusammen. Für jedes [mm] a_{n} [/mm] im Intervall [mm] [\lambda^{-n}1,\lambda^{-(n+1)}1] [/mm] liegt [mm] a_{n+1} [/mm] in [mm] [\lambda^{-(n-1)}1,\lambda^{-n}1], [/mm] sodass ein Folgeglied im Intervall [mm] [\lambda^{0}1,\lambda^{-1}1], [/mm] d.h. [mm] [1,b^{(c/a)}] [/mm] liegt und das Folgende in [0,1] und das darauf Folgende in [mm] [1,\infty]. [/mm] Daher KANN sie divergieren, tut sie aber anscheinend nicht überall. [mm] a_{0} [/mm] scheint für die Konvergenz unerheblich zu sein, je größer b wird, an desto mehr Stellen von c scheint sie zu divergieren, so exakt bei c=2 für [mm] b>\approx2.1 [/mm] und plötzlich auch bei c=4 für [mm] b>\approx4.3. [/mm] Bei [mm] b>\approx8 [/mm] auch innerhalb eines wachsenden Intervalles.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Konvergenz-einer-speziellen-Folge
Ich hoffe jmd kennt nützliche Verfahren um die Reihe zu bearbeiten.
(Ich schau sie mir erst noch im Imaginären an)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:31 Mo 31.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Man finde für alle [mm]a_{0},b,c \in \IR[/mm] den
Es soll sicher $b > 0$ sein.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] der rekursiven Folge
> [mm]a_{n+1}=log_{b}(a_{n}^c)[/mm]
> falls er existiert.
Erstmal: [mm] $\log_b(a_n^c) [/mm] = [mm] \frac{c}{\log b} \log a_n$. [/mm] Das Verhalten der Folge haengt also nur vom Bruch [mm] $\frac{c}{\log b}$ [/mm] und von [mm] $a_0$ [/mm] ab. Setze [mm] $\lambda [/mm] := [mm] \frac{c}{\log b} \in \IR$; [/mm] dann sind wir schonmal einen Parameter los.
(Einen Spezialfall haben wir ignoriert: ist $c [mm] \in \IZ$, [/mm] so ist [mm] $a_n^c$ [/mm] ja auch fuer beliebige reelle Zahlen definiert. Ist also speziell $c [mm] \neq [/mm] 0$ gerade, so ist [mm] $a_n^c [/mm] > 0$ fuer [mm] $a_n \neq [/mm] 0$, d.h. der Logarithmus kann gezogen werden, auch wenn [mm] $a_n$ [/mm] negativ ist. Den Fall ignoriere ich mal.)
Ein weiterer Spezialfall ist [mm] $\lambda [/mm] = 0$, also $c = 0$: dann ist [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \log_b(a_n^c) [/mm] = [mm] \log_b(a_n^0) [/mm] = [mm] \log_b [/mm] 1 = 0$ fuer alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Also betrachten wir ab nun [mm] $\lambda \neq [/mm] 0$.
Setze $f : [mm] \IR_{>0} \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto \lambda \log [/mm] x$. Jetzt kann man sich erstmal fragen, fuer welche $x$ $f(x) > 0$ ist, also man ueberhaupt $f(f(x))$ bilden kann. Da gibt es zwei Faelle:
1. Fall: [mm] $\lambda [/mm] > 0$.
Dann muss $x > 1$ sein, damit $f(x) > 0$ ist. Und damit $f(x) > 1$ ist, muss $x > [mm] \exp\left( \frac{1}{\lambda} \right)$ [/mm] sein. Allgemein: fuer $f(x) > [mm] \mu$ [/mm] muss $x > [mm] \exp\left( \frac{\mu}{\lambda} \right)$ [/mm] sein. Definiere [mm] $b_0 [/mm] := 0$, [mm] $b_{n+1} [/mm] := [mm] \exp\left( \frac{b_n}{\lambda} \right)$; [/mm] man sieht schnell, dass [mm] $\lim_{n\to\infty} b_n [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] ist. Daraus folgt, dass im Fall [mm] $\lambda [/mm] > 0$ die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] irgendwann abbrechen muss.
2. Fall: [mm] $\lambda [/mm] < 0$. Das ist der interessante Fall.
Damit $f(x) > 0$ gilt, muss [mm] $\log [/mm] x < 0$ sein, also $x < 1$. Betrachtet man jetzt das System von Ungleichungen $x < 1$ und $f(x) < 1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x > [mm] \exp\left( \frac{1}{\lambda} \right)$, [/mm] so sieht man, dass [mm] $a_0 \in (\exp\left( \frac{1}{\lambda} \right), [/mm] 1)$ liegen muss, damit die Folge nicht abbricht. In diesem Fall liegen alle Folgenglieder in diesem Intervall, da [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] f(a_n)$ [/mm] ist; die Folge ist also insbesondere beschraenkt.
Jetzt muss man sich ueberlegen, fuer welche [mm] $a_0$ [/mm] (bei festem [mm] $\lambda$) [/mm] das ganze konvergiert.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Danke für den Beitrag, mit den Variablen war ich wohl ein wenig sorglos :D
Also: ist das Verhältnis [mm] \lambda=c/log(b) [/mm] negativ, so kann die Reihe mit der inversen Rekursionsvorschrift [mm] b_{n+1}= e^{b_{n}/\lambda} [/mm] gegen einen Wert zwischen 0 und 1 konvergieren. ist [mm] b_{0}\le [/mm] 0, so ist [mm] b_{1}\ge [/mm] 1 und somit 0 [mm] \le b_{2} \le [/mm] 1 (negativer Exponent) [mm] b_{0}> [/mm] 0 sind somit auch erklärt.
Setzen wir nun [mm] 0=c_{0} [/mm] und damit wird [mm] 1=c_{1}, [/mm] dann können wegen der Monotonie der e-Funktion die Intervallgrenzen ebenfalls mitsubstituiert werden. Ist nun [mm] c_{n}> b_{n} [/mm] so wird [mm] b_{n+1}
Es ergibt sich: [mm] c_{2n}\le b_{2n+m}\le c_{2n+1} [/mm] und
[mm] c_{2n+2}\le b_{2n+1+m}\le c_{2n+1} [/mm] für jedes m.
Also ist für jedes [mm] b_{0} \in \IR \limes_{n\rightarrow\infty}(b_{n})= \lambda^{-\infty}1 (\lambda [/mm] sei hier wieder als Operator zu verstehen, korrigier mich wenn das fachlich nicht korrekt ist).
[mm] c_{n} [/mm] konvergiert ebenfalls, da wir zuerst einmal die ersten Folgeglieder ausrechnen können: [mm] 0=c_{0}
Somit liegt jedes Folgeglied von [mm] c_{1} [/mm] im Intervall abgegrenzt durch ihre Vorgänger. Da mit jedem Schritt nur eine Intervallseite ersetzt wird, kann das Intervall als Ganzes nicht "springen"; Daher gibt es nur einen Wert, gegen den diese Folgen konvergieren, welcher nur von c/log(b) abhängt.
Daher konvergiert die ursprüngliche Folge [mm] a_{n} [/mm] für c/log(b)<0 zumindest dann, wenn [mm] a_{0} [/mm] der Häufungswert der Umkehrfolge ist. Dann ist sie konstant.
Mich interessiert aber insbesondere der Fall in der c=2n ist, oder allgemeiner, wenn [mm] a_{n+1}=log_{b}(|a_{n}^{c}|) [/mm] ist. Dann treten die wirkich seltsamen EIgenschaften auf: Für jedes b>2 divergiert die Folge anscheinend bei c=2, und auch nicht eine millionstel Einheit daneben.
[mm] a_{n+1}=log(|a_{n}^{4}|) [/mm] divergiert anscheinend nicht, jedoch [mm] a_{n+1}=log_{5}(|a_{n}^{4}|).
[/mm]
Wenn das kein systemarischer Rechenfehler des Newton-Verfahrens ist, so muss es weitere divergente Folgen geben, immer dort wo für jede dieser Folgen c/log(b)=k ist und irgendeine der anderen Folgen [mm] a_{n+1}=log_{b}(|a_{n}^{c}|) [/mm] divergiert.
Außerdem kann wegen der uneindeutigen Umkehrbarkeit der Folge jede dieser Folgen beliebig weit rückwärts erweitert werden.
Kann mir jemand eine Erklärung für dieses Verhalten liefern?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 01.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:05 Di 01.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Setze [mm]f : \IR_{>0} \to \IR[/mm], [mm]x \mapsto \lambda \log x[/mm]. Jetzt
> kann man sich erstmal fragen, fuer welche [mm]x[/mm] [mm]f(x) > 0[/mm] ist,
> also man ueberhaupt [mm]f(f(x))[/mm] bilden kann. Da gibt es zwei
> Faelle:
>
> [...]
>
> 2. Fall: [mm]\lambda < 0[/mm]. Das ist der interessante Fall.
>
> Damit [mm]f(x) > 0[/mm] gilt, muss [mm]\log x < 0[/mm] sein, also [mm]x < 1[/mm].
> Betrachtet man jetzt das System von Ungleichungen [mm]x < 1[/mm] und
> [mm]f(x) < 1 \Leftrightarrow x > \exp\left( \frac{1}{\lambda} \right)[/mm],
> so sieht man, dass [mm]a_0 \in (\exp\left( \frac{1}{\lambda} \right), 1)[/mm]
> liegen muss, damit die Folge nicht abbricht.
Das stimmt leider nicht.
Nach ein paar weiteren numerischen Experimenten bin ich folgender Ansicht:
- Entweder gilt [mm] $f(a_0) [/mm] = [mm] a_0$, [/mm] in welchem Falle [mm] $a_n [/mm] = [mm] a_0$ [/mm] ist fuer alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
- Oder die Folge bricht irgendwann ab.
LG Felix
|
|
|
|
