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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Differentialgleichung zweiter Ordnung:
[mm] y''+4y'+8y''=e^{-2*t}*(1+3*cos(t)+*cos(2t)) [/mm] |
Hallo,
also den ersten Teil der Lösung habe ich. Das charakteristische Polynom hat zwei komplexe Nullstellen und zwar:
[mm] \lamda_{1}=-2+2*i
[/mm]
[mm] \lamda_{2}=-2-2*i
[/mm]
Daher ist der erste Teil der Lösung (kenne leider den deutschen ausdruck dafür nicht, wäre super, wenn mir den jemand nennt, hier nennt sich das complementary function):
[mm] y(x)=e^{-2t}*(C_{1}*cos(2*t)+c_{2}*sin(2*t))
[/mm]
So nun muss ich aber noch die speziellen Lösungen finden...
Ausmultiplizieren der rechten Seite gibt mir ja im Prinzip drei ausdrücke:
[mm] e^{-2*t} [/mm] , [mm] 3*e^{-2*t}cos(t), 5*e^{-2*t}*cos(2t)
[/mm]
Sowohl der erste Ausdruck als auch ein Teil vom zweiten und der komplette dritte (mit ausnahme der 5) sind schon in y(x) enthalten.
Wie kann ich jetzt eine passende spezielle Lösung finden ?
Lg,
exe
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Hallo eXeQteR,
> Lösen Sie folgende Differentialgleichung zweiter Ordnung:
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> [mm]y''+4y'+8y''=e^{-2*t}*(1+3*cos(t)+*cos(2t))[/mm]
> Hallo,
>
> also den ersten Teil der Lösung habe ich. Das
> charakteristische Polynom hat zwei komplexe Nullstellen und
> zwar:
>
> [mm]\lamda_{1}=-2+2*i[/mm]
> [mm]\lamda_{2}=-2-2*i[/mm]
>
> Daher ist der erste Teil der Lösung (kenne leider den
> deutschen ausdruck dafür nicht, wäre super, wenn mir den
> jemand nennt, hier nennt sich das complementary function):
>
> [mm]y(x)=e^{-2t}*(C_{1}*cos(2*t)+c_{2}*sin(2*t))[/mm]
Nun, das ist die Lösung der homogenen DGL.
>
> So nun muss ich aber noch die speziellen Lösungen
> finden...
>
> Ausmultiplizieren der rechten Seite gibt mir ja im Prinzip
> drei ausdrücke:
>
> [mm]e^{-2*t}[/mm] , [mm]3*e^{-2*t}cos(t), 5*e^{-2*t}*cos(2t)[/mm]
>
> Sowohl der erste Ausdruck als auch ein Teil vom zweiten und
> der komplette dritte (mit ausnahme der 5) sind schon in
> y(x) enthalten.
>
> Wie kann ich jetzt eine passende spezielle Lösung finden
> ?
Für die Störfunktion [mm]e^{-2t}[/mm] lautet der Ansatz
[mm]A*e^{-2t}[/mm]
Für die Störfunktion [mm]e^{-2t}*\cos\left(t\right)[/mm] lautet der Ansatz
[mm]e^{-2t}*\left(B*\sin\left(t\right)+C*\cos\left(t\right)[/mm]
Für die Störfunktion [mm]e^{-2t}*\cos\left(2t\right)[/mm] lautet der Ansatz
[mm]t*e^{-2t}*\left( \ D*\sin\left(2t\right)+E*\cos\left(2t\right) \ \right)[/mm]
, da diese Störfunktion zugleich auch Lösung der homogenen DGL ist.
In den Fällen, in denen die Störfunktion trigonometrischen Funktionen
beinhaltet, ist es oftmals besser den komplexen Anstatz zu verwenden.
Im Fall der Störfunktion [mm]e^{-2t}*\cos\left(t\right)[/mm] lautet dann der Ansatz:
[mm]F*e^{\left(-2+i\right)*t}[/mm]
Im Fall der Störfunktion [mm]e^{-2t}*\cos\left(2t\right)[/mm] lautet dann der Ansatz:
[mm]G*t*e^{\left(-2+2i\right)*t}[/mm]
, wobei dann die Störfunktionen entsprechend anzupassen sind.
Beim komplexen Ansatz löst der Realteil der
partikulären Lösung die inhomogene DGL.
>
> Lg,
>
> exe
>
Gruss
MathePower
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Hi,
danke für deine ausführliche antwort.
Das mit dem komplexen Ansatz habe ich noch nicht ganz verstanden, das wurde bei uns auch in der vorlesung gemacht.
Wird der Ansatz dann je nach wurzel des charaketeristischen Polynoms angepasst ? Was ist mit der komplex-konjugierten Lösung ? Und was passiert wenn ich dort jetzt keinen cosinus stehen habe sondern einen sinus, dann müsste es doch der imaginärteil sein der die DGL löst, oder ?
Lg
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Hallo eXeQteR,
> Hi,
>
> danke für deine ausführliche antwort.
>
> Das mit dem komplexen Ansatz habe ich noch nicht ganz
> verstanden, das wurde bei uns auch in der vorlesung
> gemacht.
> Wird der Ansatz dann je nach wurzel des
> charaketeristischen Polynoms angepasst ? Was ist mit der
Es geht hier nur um die Störfunktion.
> komplex-konjugierten Lösung ? Und was passiert wenn ich
> dort jetzt keinen cosinus stehen habe sondern einen sinus,
> dann müsste es doch der imaginärteil sein der die DGL
> löst, oder ?
Wenn Du als Störfunktion einen Sinus hast,
dann muß logischerweise der Imaginärteil der
komplexen Lösung die inhomogene DGL lösen.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Hi nochmal,
> Hallo eXeQteR,
>
>
> > Hi,
> >
> > danke für deine ausführliche antwort.
> >
> > Das mit dem komplexen Ansatz habe ich noch nicht ganz
> > verstanden, das wurde bei uns auch in der vorlesung
> > gemacht.
> > Wird der Ansatz dann je nach wurzel des
> > charaketeristischen Polynoms angepasst ? Was ist mit der
>
>
> Es geht hier nur um die Störfunktion.
Ja, ich weiß. aber nach welchem Kriterium passe ich denn dann den Ansatz an. Also du hast oben z.B. [mm] e^{-2+2i} [/mm] gewählt was zufälligerweise auch ie Lösung des char. polynoms war, deshalb fragte ich.
> > komplex-konjugierten Lösung ? Und was passiert wenn ich
> > dort jetzt keinen cosinus stehen habe sondern einen sinus,
> > dann müsste es doch der imaginärteil sein der die DGL
> > löst, oder ?
>
>
> Wenn Du als Störfunktion einen Sinus hast,
> dann muß logischerweise der Imaginärteil der
> komplexen Lösung die inhomogene DGL lösen.
>
>
> >
> > Lg
>
>
> Gruss
> MathePower
Vielen Dank.
exe
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Hallo eXeQteR,
> Hi nochmal,
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> > Hallo eXeQteR,
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> >
> > > Hi,
> > >
> > > danke für deine ausführliche antwort.
> > >
> > > Das mit dem komplexen Ansatz habe ich noch nicht ganz
> > > verstanden, das wurde bei uns auch in der vorlesung
> > > gemacht.
> > > Wird der Ansatz dann je nach wurzel des
> > > charaketeristischen Polynoms angepasst ? Was ist mit der
> >
> >
> > Es geht hier nur um die Störfunktion.
>
> Ja, ich weiß. aber nach welchem Kriterium passe ich denn
> dann den Ansatz an. Also du hast oben z.B. [mm]e^{-2+2i}[/mm]
> gewählt was zufälligerweise auch ie Lösung des char.
> polynoms war, deshalb fragte ich.
Angenommen, Du hast die Störfunktion
[mm]e^{\alpha*t}*\cos\left(\beta*t\right)[/mm]
Dann lautet der komplexe Ansatz: [mm]A*e^{\left(\alpha+i*\beta\right)*t}[/mm]
Ist [mm]\alpha+i*\beta[/mm] Lösung des charakteristischen Polynoms der DGL,
so ist der Ansatz bei einer DGL 2. Ordnung mit t zu multiplizieren.
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> > > komplex-konjugierten Lösung ? Und was passiert wenn ich
> > > dort jetzt keinen cosinus stehen habe sondern einen sinus,
> > > dann müsste es doch der imaginärteil sein der die DGL
> > > löst, oder ?
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> >
> > Wenn Du als Störfunktion einen Sinus hast,
> > dann muß logischerweise der Imaginärteil der
> > komplexen Lösung die inhomogene DGL lösen.
> >
> >
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> > > Lg
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> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Vielen Dank.
>
> exe
Gruss
MathePower
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Hi,
ich komme damit bei der Konstanten für den letzten teil mit Ansatz [mm] G*t*e^{-2+2i} [/mm] auf [mm] G=\bruch{5}{4i}. [/mm] das kann doch nicht stimmen, oder ? Der realteil wäre ja dann null...
lg
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Hallo eXeQteR,
> Hi,
>
> ich komme damit bei der Konstanten für den letzten teil
> mit Ansatz [mm]G*t*e^{-2+2i}[/mm] auf [mm]G=\bruch{5}{4i}.[/mm] das kann doch
Für G habe ich den Wert [mm]G=\bruch{1}{4i}=-\bruch{1}{4}i[/mm] heraus.
> nicht stimmen, oder ? Der realteil wäre ja dann null...
Jetzt mußt Du den Realteil von
[mm]G*t*e^{\left(-2+2i\right)*t}[/mm]
berechnen.
>
> lg
>
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Di 09.02.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
ich habe es inzwischen raus. du hast in deiner lösung die 5 vergessen, die sich für die spezielle Lösung aus [mm] 5*e^{-2t}*cos(2t) [/mm] ergibt.
Danke für deine mühe,
lg
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