spezieller EW aus diskr. Vert. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Do 08.10.2009 | | Autor: | StefanOm |
Hallo Zusammen,
im Rahmen einer Projektarbeit bin ich auf ein Problem gestoßen, für das ich mit meinen (leider nur begrenzten) Kenntnissen der Wahrscheinlichkeitstheorie keine Lösungen zu finden scheine.
Folgendes Problem bereitet mir Kopfzerbrechen:
In einem Regal eines Lagerhauses stehen Artikel zur Entnahme bereit. Die Wahrcheinlichkeiten, mit denen auf einzelne Fächer des Regals zugegriffen werden muss, sind bekannt. Da ich mich mit den Laufwegen (vertikale Bewegung entlang der Spalten des Regals) beschäftige, habe ich diese spaltenweise zusammengefasst. Gegeben ist somit eine diskrete W'keitsverteilung für die Entnahmen aus den verschiedenen Spalten.
Ich nehme an, dass die Zahl der zu entnehmenden unterschiedlichen Artikel bekannt ist. Ausgehend von der diskreten Verteilung möchte ich nun den Erwartungswert für den Abstand (in Spalten des Regals) von der gegenwärtigen Spalte zu der, auf die zuletzt zugegriffen wurde, ermitteln.
Beispielsweise soll also die Frage beantwortet werden könne:
„Wenn mein Regal 20 Spalten umfasst, ich insgesamt 5 verschiedene Artikel entnehme und ich eine Entnahme aus Spalte 10 tätigen muss, an wievielen Spalten musste ich seit der letzten Entnahme entlang laufen.“ (Erwartungswert)
Mein bisheriger Ansatz:
Ich habe eigentlich nur die Idee, wie ich im Fall von 2 Entnahmen vorgehen könnte. Soll der gesuchte EW für eine Spalte x bestimmt werden, so würde ich mittels der kummulierten W'keiten der Fächer 1...X-1 die Wahrscheinlichkeit [mm] (p_2), [/mm] dass es sich um die 2. Entnahme handelt, bestimmen. Die Gegenwahrscheinlichkeit, dass es sich um die erste Entnahme handelt ist ja dann wohl [mm] (p_1= 1-p_2). [/mm] Der erwartete Spaltenabstand d könnte dann meiner Meinung so berechnet werden:
EW(d)= [mm] p_1*D(0) [/mm] + [mm] p_2*D( [/mm] EW(1...X-1) )
wobei D(y) den Abstand zwischen einer Spalte y und der gegenwärtigen Spalte x beschreiben soll. EW(1...X-1) sei der Erwartungswert der gezogenen Spalte, wenn nur die Spalten (1...X-1) betrachtet werden.
Jetzt fehlt allerdings die Idee, wie dies auf Fälle >2 erweitern werden kann.
Ich hoffe ich konnte das Problem verständlich erklären und bin für jeden Tipp dankbar.
Viele Grüße
Stefan
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Folgendes Problem bereitet mir Kopfzerbrechen:
> In einem Regal eines Lagerhauses stehen Artikel zur
> Entnahme bereit. Die Wahrcheinlichkeiten, mit denen auf
> einzelne Fächer des Regals zugegriffen werden muss, sind
> bekannt. Da ich mich mit den Laufwegen (vertikale Bewegung
> entlang der Spalten des Regals) beschäftige, habe ich
> diese spaltenweise zusammengefasst. Gegeben ist somit eine
> diskrete W'keitsverteilung für die Entnahmen aus den
> verschiedenen Spalten.
Ist irgendeine Information darueber vorhanden, wo die Spaltennummern herkommen? Sprich, haengt die Wahrscheinlichkeit, ob etwas aus der $n$-ten Spalte genommen wird, davon ab, aus welchen Spalten zuvor etwas genommen wurde? Wenn nicht, dann ist die Anzahl der Entnahmen relativ egal. Die Verteilung der Zufallsvariablen "aktuelle Spalte" ist also gleich der Verteilung der Zufallsvariablen "aus welcher Spalte wird etwas gezogen".
Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass aus der $k$-ten Spalte etwas gezogen wird, mit [mm] $p_k$ [/mm] bezeichnet wird (sagen wir es gibt $n$ Spalten, also $k = 1, [mm] \dots, [/mm] n$), dann ist die erwartete Entfernung von der $i$-ten Spalte zur letzten Spalte also [mm] $\sum_{k=1}^n p_k \cdot [/mm] (k - i) = [mm] \sum_{k=1}^n p_k \cdot [/mm] k - i [mm] \sum_{k=1}^n p_k$. [/mm] Nun ist [mm] $\sum_{k=1}^n p_k [/mm] = 1$, da es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, und [mm] $\sum_{k=1}^n p_k \cdot [/mm] k$ ist gerade der Erwartungswert der Zufallsvariablen "aus welcher Spalte wird etwas gezogen".
Du berechnest also einfach den Erwartungswert der ZV "aus welcher Spalte wird etwas gezogen" und ziehst davon die Zielspalte $i$ ab, um den Erwartungswert fuer die zurueckgelegte Distanz zur Zielspalte zu erhalten.
Oder hab ich dein Problem voellig falsch verstanden? Deine Frage fand ich naemlich schon recht verwirrend... :)
Eine Alternativinterpretation waere, dass du wissen willst, wieviel man sich zwischen zwei Entnahmen im Erwartungswert hin- und herbewegt. Die vorherige und die neue Spalte sind jeweils mit der Verteilung [mm] $(p_i)_i$ [/mm] verteilt, es gilt also [mm] $P(\text{vorherige Spalte} [/mm] = i) = [mm] P(\text{naechste Spalte} [/mm] = i) = [mm] p_i$ [/mm] fuer $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n$. Und welche die naechste Spalte wird ist unabhaengig davon, welches die vorherige Spalte war.
In dem Fall ist der Erwartungswert gegeben durch [mm] $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n p_i p_j \cdot [/mm] |i - j|$. Dies kann man erstmal umformen: fuer $i > j$ und $i < j$ ist [mm] $p_i p_j \cdot [/mm] |i - j|$ das gleiche, und fuer $i = j$ ist [mm] $p_i p_j \cdot [/mm] |i - j| = 0$. Es reicht also aus, die Faele $i < j$ zu betrachten und das Ergebnis mit 2 zu multiplizieren; der Erwartungswert ist also $2 [mm] \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n p_i p_j \cdot [/mm] (j - i) = [mm] \sum_{1 \le i < j \le n} p_i p_j \cdot [/mm] (j - i)$.
LG Felix
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