stammfunktion bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Di 29.03.2005 | | Autor: | Gopal |
Hallo Leute,
ich soll für [mm] f(x)=\bruch{1}{1+\wurzel{x}} [/mm] Def. [mm] (0,\infty) [/mm] eine Stammfunktion bestimmen.
ich vermute, ich muss hier mit Substitution arbeiten, aber ich komme irgendwie nicht vorwärts. ich habe auch allgemein nicht verstanden, wie ich erkenne, womit sinnvoll zu substituieren wäre.
wenn mir jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar
mfg
gopal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Di 29.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Versuche es doch mal mit der Substitution [mm] $u=1+\sqrt{x}$. [/mm] Es gilt dann [mm] $\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\gdw dx=2\sqrt{x}\cdot du=2(u-1)\cdot [/mm] du$. Setze dies ein und du solltest problemlos eine LÖsung finden.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Di 29.03.2005 | | Autor: | Gopal |
> Hallo!
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> Versuche es doch mal mit der Substitution [mm]u=1+\sqrt{x}[/mm]. Es
> gilt dann [mm]\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\gdw dx=2\sqrt{x}\cdot du=2(u-1)\cdot du[/mm].
> Setze dies ein und du solltest problemlos eine LÖsung
> finden.
vielen dank für deine antwort,
ich habe also eingesetzt:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{t} 2(t-1) dt} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} {2-\bruch{2}{t}dt} [/mm] = [mm] 2t-\integral_{}^{} {\bruch{2}{t}dt} [/mm] = 2t - 2 ln t.
aber wenn ich jetzt für t wieder [mm] 1+\wurzel{x} [/mm] resubstituiere, und dann versuche die funktion abzuleiten erhalte ich nicht [mm] \bruch{1}{1+\wurzel{x}}. [/mm] wo liegt mein Fehler?
und kann mir jemand allgemeine tips geben, wie ich eine geeignete substitution finde?
vielen dank für die hilfe
gopal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Di 29.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gopal!
> ich habe also eingesetzt:
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1}{t} 2(t-1) dt}[/mm] = [mm]\integral_{}^{} {2-\bruch{2}{t}dt}[/mm] = [mm]2t-\integral_{}^{} {\bruch{2}{t}dt}[/mm] = 2t - 2 ln t.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> aber wenn ich jetzt für t wieder [mm]1+\wurzel{x}[/mm]
> resubstituiere, und dann versuche die funktion abzuleiten
> erhalte ich nicht [mm]\bruch{1}{1+\wurzel{x}}.[/mm] wo liegt mein Fehler?
Das kann ich Dir jetzt auch nicht sagen. Ich erhalte als Ableitung der Stammfunktion wieder die Ausgangsfunktion.
Bitte poste doch mal Deinen Rechenweg, um Deinen Fehler zu finden ...
Nach Re-Substitution lautet unsere Stammfunktion (ohne Integrationskonstante!):
$F(x) \ = \ 2 * [mm] \left(1 + \wurzel{x}\right) [/mm] - 2 * [mm] \ln\left(1 + \wurzel{x}\right) [/mm] \ = \ 2 + [mm] 2*\wurzel{x} [/mm] - 2 * [mm] \ln\left(1 + \wurzel{x}\right)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Di 29.03.2005 | | Autor: | Gopal |
> Hallo Gopal!
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> > ich habe also eingesetzt:
> > [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1}{t} 2(t-1) dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{} {2-\bruch{2}{t}dt}[/mm] = [mm]2t-\integral_{}^{} {\bruch{2}{t}dt}[/mm]
> = 2t - 2 ln t.
>
>
>
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> > aber wenn ich jetzt für t wieder [mm]1+\wurzel{x}[/mm]
> > resubstituiere, und dann versuche die funktion abzuleiten
> > erhalte ich nicht [mm]\bruch{1}{1+\wurzel{x}}.[/mm] wo liegt mein
> Fehler?
>
> Das kann ich Dir jetzt auch nicht sagen. Ich erhalte als
> Ableitung der Stammfunktion wieder die Ausgangsfunktion.
>
> Bitte poste doch mal Deinen Rechenweg, um Deinen Fehler zu
> finden ...
>
>
> Nach Re-Substitution lautet unsere Stammfunktion (ohne
> Integrationskonstante!):
>
> [mm]F(x) \ = \ 2 * \left(1 + \wurzel{x}\right) - 2 * \ln\left(1 + \wurzel{x}\right) \ = \ 2 + 2*\wurzel{x} - 2 * \ln\left(1 + \wurzel{x}\right)[/mm]
>
jetzt ging es auch ganz einfach. ich hatte mich vorhin beim ableiten des ln-terms mit der kettenregel vertan. vielen dank nochmal.
trotzdem wollte ich nochmal fragen, ob es nicht irgendwelche anhaltspunkte gibt, allgemeine regeln, tips und tricks, woran man zunächst erkennt, dass man substituieren sollte und dann, womit man am bessten substituiert, um die stammfunktion zu bestimmen. ich probiere immer irgendwie rum aber dabei geht immer soviel zeit verloren und ich bin mir dann unsicher ob es richtig ist, was ich mache und zu oft ist es eben nicht richtig.
nochmal danke
gopal
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Hi, gopal,
da gibt's natürlich schon Regeln und Hinweise, aber das sind zu viele, um sie sich "einfach zu merken".
Das Beste ist hier immer noch: Viele Beispiele, immer wieder selbst probieren und wenn's beim ersten Mal nicht klappt: Nicht aufgeben!
Zudem würd' ich's mir schon mal "leisten", das eine oder andere Buch zur Integralrechnung durchzublättern oder gar zu kaufen:
Schon im "Minorski" (Aufgabensammlung der höheren Mathematik, Fachbuchverlag Leipzig) ist einiges drin;
besonders schön ist aber auch
Kusch, Rosenthal, Jung, Mathematik Bd.4 Integralrechnung, Cornelsen-Verlag (wenn's das Buch noch gibt!)
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