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Forum "Induktionsbeweise" - starke vollständige Induktion
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starke vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:08 Mi 19.12.2018
Autor: rubi

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage bzgl. des Unterschieds zwischen einer vollständigen Induktion und einer starken vollständigen Induktion.
Ist es korrekt, dass man
1.) bei der vollständigen Induktion im Induktionsschritt lediglich voraussetzt, dass A(n) für ein n [mm] \in \IN [/mm] korrekt ist und daraus folgert, dass A(n+1) auch korrekt ist ?  
2.) bei der starken vollständigen Induktion im Induktionsschritt voraussetzt, dass A(n) für alle n [mm] \le n_0 [/mm] korrekt ist und daraus folgert, dass A(n+1) auch korrekt ist ?

Ich verstehe dies so, dass man bei der starken vollständigen Induktion sozusagen mehr Voraussetzungen hat als bei der vollständigen Induktion.
Ist dies so richtig ?

Ich habe zur starken vollständigen Induktion ein Beispiel zur Primfaktorzerlegung gefunden (Zeige, dass sich jede natürliche Zahl in Primfaktoren zerlegen lässt).
Gibt es hier noch weitere Beispiele ?

Die "üblichen" Induktions-Beweisaufgaben lassen sich m.E. mit vollständiger Induktion lösen.
Ist dies so korrekt ?

Danke für eure Antworten.

Viele Grüße
Rubi

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
starke vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:47 Mi 19.12.2018
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>
> ich habe eine Frage bzgl. des Unterschieds zwischen einer
> vollständigen Induktion und einer starken vollständigen
> Induktion.
> Ist es korrekt, dass man
> 1.) bei der vollständigen Induktion im Induktionsschritt
> lediglich voraussetzt, dass A(n) für ein n [mm]\in \IN[/mm] korrekt
> ist und daraus folgert, dass A(n+1) auch korrekt ist ?  
> 2.) bei der starken vollständigen Induktion im
> Induktionsschritt voraussetzt, dass A(n) für alle n [mm]\le n_0[/mm]
> korrekt ist und daraus folgert, dass A(n+1) auch korrekt
> ist ?
>  
> Ich verstehe dies so, dass man bei der starken
> vollständigen Induktion sozusagen mehr Voraussetzungen hat
> als bei der vollständigen Induktion.
> Ist dies so richtig ?

Ja. Schau mal hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion


unter "Starke Induktion". Dort solltest Du die Gleichwertigkeit der beiden Beweismethoden sehen.


>  
> Ich habe zur starken vollständigen Induktion ein Beispiel
> zur Primfaktorzerlegung gefunden (Zeige, dass sich jede
> natürliche Zahl in Primfaktoren zerlegen lässt).
>  Gibt es hier noch weitere Beispiele ?

Beispie: Identitätssatz für Potenzreihen:

Sei [mm] \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R>0, I=(-R,R) und f(x)= [mm] \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] für x [mm] \in [/mm] I. Ist weiter [mm] (x_m) [/mm] eine Folge in I mit [mm] x_m \to [/mm] 0, [mm] x_m \ne [/mm] 0 für alle m und [mm] f(x_m)=0 [/mm] für alle m, so ist [mm] a_n=0 [/mm] für alle n [mm] \in \IN_0. [/mm]


Versuche das mal mit starker Induktion zu beweisen (hierbei benötigst Du die Stetigkeit von f auf I).


>
> Die "üblichen" Induktions-Beweisaufgaben lassen sich m.E.
> mit vollständiger Induktion lösen.
> Ist dies so korrekt ?

Na ja, was sind denn  "üblichen" Induktions-Beweisaufgaben  ??

>
> Danke für eure Antworten.
>
> Viele Grüße
>  Rubi
>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


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