stationäre punkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Fr 25.06.2010 | | Autor: | rml_ |
| Aufgabe | Bestimmen und klassifizieren Sie sa¨mtliche stationa¨re Punkte von der Funktion
f : [mm] R^2/(0; [/mm] 0)->R mit f (x; y) = xy [mm] ln(x^2+y^2). [/mm] |
hallo:)
also stationäre punkte sind die wo der gradient null ist, aber ich hab so mein problem mit dem lösen dieses gleichungssystems:
[mm] f_x= [/mm] -y [mm] ln(x^2 [/mm] + [mm] y^2)=\bruch{2}{y}
[/mm]
[mm] f_y= [/mm] -x [mm] ln(x^2 [/mm] + [mm] y^2)=\bruch{2}{x}
[/mm]
wie komm ich am schnellsten an die nullstellen?
danke
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Moin,
[mm] $\mbox{grad} f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \left(\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}, \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}\right) [/mm] $
Bilde also die partiellen Ableitungen und betrachte die Punkte $\ [mm] P(x_1,x_2) [/mm] $ an denen [mm] $\mbox{grad} f(x_1,x_2) [/mm] = 0 $
Hilft dir das?
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Fr 25.06.2010 | | Autor: | rml_ |
die gleichungen die ich geschrieben habe, sind bereits der gradient komplett umgeformt, es ist quasie ein gleichungssystem mit 2 gleichungen und 2 unbeaknnten, nun würde man ja , ka, eine gleichung auflösen und in die andere einsetzten, leider ist das extrem nervig da ziemlich viel quatsch so kommt, deshalb interessiert mich , wie ich einfacher/schneller an die nullstellne komme:)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
so wie ich das sehe, sind deine partiellen Ableitungen aber falsch.
Da solltest du schon die Produktregel bemühen.
Ich komme auf
$f_x(x,y)=y\cdot{}\ln(x^2+y^2)+xy\cdot{}2x\cdot{}\frac{1}{x^2+y^2}=y\cdot{}\left[\ln(x^2+y^2)+\frac{2x^2}{x^2+y^2}\right]$
und entsprechend
$f_y(x,y)=x\cdot{}\left[\ln(x^2+y^2)+\frac{2y^2}{x^2+y^2}\right]$
Für $f_x(x,y)=0$ hat man schonmal $y=0\vee {[\ldots]=0$
Mit $y=0$ in $f_y$: $\Rightarrow x=0\vee \ln(x^2)=0 \ \ldots$
Die Klammerausdrücke sind komplizierter, vllt. hilft da gleichnamig machen ...
Habe ich mir noch nicht genauer angeschaut ...
Aber vllt. bringt dich das ja auf den rechten Weg 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Fr 25.06.2010 | | Autor: | rml_ |
wow danke ich hab das [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] in ein [mm] x^2y^2 [/mm] gemacht ,dann könnte man nämlich kürzen
ok danke das du mich auf meinen fehelr hingewiesen hast
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Sa 26.06.2010 | | Autor: | rml_ |
hallo:)
es muss folgendes gelten:
[mm] ln(x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] = - [mm] \bruch{2x^2}{x^2 + y^2} [/mm] und [mm] ln(x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] = - [mm] \bruch{2y^2}{x^2 + y^2} [/mm]
wenn das beides gleichzeitig gelten muss, dann ist der wert des logarithmus gleich bei beiden gleichungen, dann kann ich doch auch sagen das in [mm] \bruch{2y^2}{x^2 + y^2} [/mm] und in [mm] \bruch{2x^2}{x^2 + y^2} [/mm] x=y ist oder?
dann könnte ich kürzen und es müsste gelten [mm] ln(x^2 [/mm] + [mm] y^2)= [/mm] -1
richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Sa 26.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo rml!
> wenn das beides gleichzeitig gelten muss, dann ist der wert
> des logarithmus gleich bei beiden gleichungen, dann kann
> ich doch auch sagen das in [mm]\bruch{2y^2}{x^2 + y^2}[/mm] und in
> [mm]\bruch{2x^2}{x^2 + y^2}[/mm] x=y ist oder?
Nein, daraus folgt [mm] $x^2 [/mm] \ = \ [mm] y^2$ [/mm] bzw. $|x| \ = \ |y|$ .
> dann könnte ich kürzen und es müsste gelten [mm]ln(x^2[/mm] + [mm]y^2)=[/mm] -1
> richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Sa 26.06.2010 | | Autor: | rml_ |
danke:)
nur so falls jemand ausrechenen will ich krieg als nullstellen(da ja {0/0} nicht dabei ist):
[mm] \wurzel{\bruch{1}{2e}} [/mm] und [mm] -\wurzel{\bruch{1}{2e}} [/mm]
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