stet. Fkt mit endl Bildbereich < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 So 19.06.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | | Bestimmen sie alle stetigen Funktionen [mm] $f:\IR\to\IR$, [/mm] die einen endlichen Bildbereich besitzen, d.h., deren Bild f(R) nur endlich viele Elemente enthält. |
Hallo,
ich habe mir gedacht, dass es zumindest schon mal alle bijektiven (injektiv gilt nicht, da die Funktionen stetig sein müssen?) Funktionen sind, die einen endlichen Definitionsbereich besitzen.
Hm ist jetzt irgendwie nicht besonders viel, vor allem weiß ich nicht ob es nicht noch mehr Funktionen gibt, die einen endlichen Bildbereich besitzen. Mir fallen aber auch keine anderen Kriterien ein, als die, dass der Definitionsbereich endlich ist und die Abbildung bijektiv ist.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
lg
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> Bestimmen sie alle stetigen Funktionen [mm]f:\IR\to\IR[/mm], die
> einen endlichen Bildbereich besitzen, d.h., deren Bild f(R)
> nur endlich viele Elemente enthält.
> Hallo,
>
> ich habe mir gedacht, dass es zumindest schon mal alle
> bijektiven (injektiv gilt nicht, da die Funktionen stetig
> sein müssen?) Funktionen sind, die einen endlichen
> Definitionsbereich besitzen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Laut Aufgabenstellung soll der Definitionsbereich von f
die gesamte Menge [mm] \IR [/mm] sein - also keinesfalls ein endlicher
Definitionsbereich !
Das Bild [mm] f(\IR) [/mm] von [mm] \IR [/mm] unter der Abbildung f soll aber nur
endlich viele Werte enthalten.
Probier dir das Ganze grafisch klar zu machen: Welche
Eigenschaften muss der Graph einer für alle reellen x
definierten und stetigen Funktion haben, wenn nur endlich
viele y-Werte "benützt" werden dürfen ?
Ist die anschauliche Idee erstmal klar, kannst du die
Details eines Beweises ausarbeiten.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 So 19.06.2011 | | Autor: | nhard |
Danke für deine Antwort!
Ohje, da habe ich vor lauter überlegen die Aufgabenstellung gar nicht mehr richtig beachtet...
Wenn ich jetzt die Funktion [mm] $f:\IR\to\IR ,\quad x\to a;\quad a\in\IR=const.$
[/mm]
betrachte, ist das dann ein endlicher Bildbereich? Wäre ja dann nur die Menge [mm] $B:=\{a\}$ [/mm]
Dann wären konstante Funktionen schon mal solche Funktionen.
Ansonsten fallen mir eigentlich keine mehr ein.
Ich würde das jetzt erstmal "salopp" damit begründen, dass sobald die Funktion noch einen anderen Funktionswert annimmt zb [mm] $f(\tilde [/mm] x)=b$, es ein Intervall [mm] $[x,\tilde [/mm] x]$ gibt (oBdA [mm] $x<\tilde [/mm] x$) auf dem die Funktion stetig ist. Dann folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass für jedes [mm] $\xi\in[x,\tilde [/mm] x]$ ein [mm] $c\in[a,b]$ [/mm] (oBdA [mm] $\(f(x)
Das intervall [mm] $[x,\tilde [/mm] x]$ hat jetzt aber nicht mehr endlich viele Elemente, daher gibt es auch keine endliche Anzahl an Funktionswerten.
Kommt das der Sache schon näher?
Vielen Dank und lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 So 19.06.2011 | | Autor: | Pappus |
>
> Dann wären konstante Funktionen schon mal solche
> Funktionen.
>
> Ansonsten fallen mir eigentlich keine mehr ein.
Guten Abend,
kennst Du die Heaviside-Funktion (http://de.wikipedia.org/wiki/Heaviside-Funktion) oder die sign-Funktion(http://de.wikipedia.org/wiki/Signum_%28Mathematik%29)?
(Beide werden in der Elektro-Technik gern genommen)
Gruß
Pappus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 So 19.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> kennst Du die Heaviside-Funktion
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Heaviside-Funktion) oder die
> sign-Funktion(http://de.wikipedia.org/wiki/Signum_%28Mathematik%29)?
>
> (Beide werden in der Elektro-Technik gern genommen)
...sind allerdings nicht stetig und das war ja Voraussetzung.
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 So 19.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Wenn ich jetzt die Funktion [mm]f:\IR\to\IR ,\quad x\to a;\quad a\in\IR=const.[/mm]
>
> betrachte, ist das dann ein endlicher Bildbereich? Wäre ja
> dann nur die Menge [mm]B:=\{a\}[/mm]
>
>
> Dann wären konstante Funktionen schon mal solche
> Funktionen.
>
> Ansonsten fallen mir eigentlich keine mehr ein.
> Ich würde das jetzt erstmal "salopp" damit begründen,
> dass sobald die Funktion noch einen anderen Funktionswert
> annimmt zb [mm]f(\tilde x)=b[/mm], es ein Intervall [mm][x,\tilde x][/mm]
> gibt (oBdA [mm]x<\tilde x[/mm]) auf dem die Funktion stetig ist.
> Dann folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass für jedes
> [mm]\xi\in[x,\tilde x][/mm] ein [mm]c\in[a,b][/mm] (oBdA [mm]\(f(x)
> ex. mit [mm]f(\xi)=c[/mm].
Für jedes [mm] $c\in[a,b]$ [/mm] existiert ein [mm] $\xi\in[x,\tilde [/mm] x]$ mit [mm] $f(\xi)=c$. [/mm] Andersrum enthält die Begründung doch nicht, dass auch alles Elemente in $[a,b]$ angenommen werden. Außerdem stimmt die Aussage andersrum auch gar nicht.
Ein Gegenbeispiel wäre $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] auf $[-1,2]$. Dann ist $0 [mm] \in [/mm] [-1,2]$, aber $f(0) [mm] \not\in [/mm] [f(-1),f(2)]$.
>
> Das intervall [mm][x,\tilde x][/mm] hat jetzt aber nicht mehr
> endlich viele Elemente, daher gibt es auch keine endliche
> Anzahl an Funktionswerten.
>
> Kommt das der Sache schon näher?
Ja.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Mo 20.06.2011 | | Autor: | nhard |
Danke für eure Antworten!
Du hast natürlich recht Lippel, da bin ich wieder ein wenig zu schnell gewesen.
Mein neuer Versuch:
Beh.: Die Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn die Funktion konstant ist.
Ist die Funktion konstant, d.h. [mm] $f:\IR\to\IR;\quad x\to c\quad [/mm] mit\ [mm] c\in\IR=const.$, [/mm] d.h. für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt $f(x)=c$, so ist die Bildmenge [mm] $B:=\{c\}$. [/mm] Da diese nur ein Element enthält ist sie offenstichtlich endlich.
Ist die Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] nicht konstant, d.h. es ex. ein [mm] $f(\tilde x)\not =f(\hat [/mm] x)$, so gibt es ein Intervall [mm] $[f(\tilde x),f(\hat x)]\subseteq\IR$ [/mm] für das nach dem Zwischnwertsatz gilt:
Für alle [mm] $\xi\in[f(\tilde x),f(\hat [/mm] x)]$ ex. ein [mm] $\dot x\in[\tilde x,\hat x]\subseteq\IR$[red]*[/red] [/mm] mit [mm] $f(\dot x)=\xi$, [/mm] d.h. alle Werte zwischen dem Intervall [mm] $[f(\tilde x),f(\hat [/mm] x)]$ können angenommen werden. Diese Menge ist offenstichtlich nicht mehr endlich, somit ist auch der Bildbereich dieser Funktion nicht endlich.
Daraus folgt, dass eine eine Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] mit endlichen Bildbereich eine konstante Funktion sein muss. [mm] $\Box$
[/mm]
Zu *:
Hier bin ich mir nicht sicher ob ich das so einfach so Behaupten kann. Würde es auch reichen, dass ich sage es ex. ein [mm] $\dot x\in\IR$? [/mm] Aber dann bekomme ich doch ein Problem mit dem ZWS, der ja von einem abgeschlossenem Intervall als Definitionsmenge ausgeht.
Vielen Dank für eure Hilfe und lg!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Mo 20.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke für eure Antworten!
>
> Du hast natürlich recht Lippel, da bin ich wieder ein
> wenig zu schnell gewesen.
>
> Mein neuer Versuch:
>
> Beh.: Die Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn die
> Funktion konstant ist.
>
> Ist die Funktion konstant, d.h. [mm]f:\IR\to\IR;\quad x\to c\quad mit\ c\in\IR=const.[/mm],
> d.h. für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt [mm]f(x)=c[/mm], so ist die Bildmenge
> [mm]B:=\{c\}[/mm]. Da diese nur ein Element enthält ist sie
> offenstichtlich endlich.
>
> Ist die Funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm] nicht konstant, d.h. es ex.
> ein [mm]f(\tilde x)\not =f(\hat x)[/mm], so gibt es ein Intervall
> [mm][f(\tilde x),f(\hat x)]\subseteq\IR[/mm] für das nach dem
> Zwischnwertsatz gilt:
>
> Für alle [mm]\xi\in[f(\tilde x),f(\hat x)][/mm] ex. ein [mm]\dot x\in[\tilde x,\hat x]\subseteq\IR[/mm]*
> mit [mm]f(\dot x)=\xi[/mm], d.h. alle Werte zwischen dem Intervall
> [mm][f(\tilde x),f(\hat x)][/mm] können angenommen werden. Diese
> Menge ist offenstichtlich nicht mehr endlich, somit ist
> auch der Bildbereich dieser Funktion nicht endlich.
>
> Daraus folgt, dass eine eine Funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm] mit
> endlichen Bildbereich eine konstante Funktion sein muss.
> [mm]\Box[/mm]
Alles O.K.
>
> Zu *:
>
> Hier bin ich mir nicht sicher ob ich das so einfach so
> Behaupten kann. Würde es auch reichen, dass ich sage es
> ex. ein [mm]\dot x\in\IR[/mm]? Aber dann bekomme ich doch ein
> Problem mit dem ZWS, der ja von einem abgeschlossenem
> Intervall als Definitionsmenge ausgeht.
Wenn [mm] f:\IR \to \IR [/mm] stetig ist und [a,b] [mm] \subseteq \IR, [/mm] so kannst Du doch den ZWS auf die Einschränkung von f auf [a,b] anwenden.
FRED
>
> Vielen Dank für eure Hilfe und lg!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Mo 20.06.2011 | | Autor: | nhard |
vielen Dank, das wollte ich wissen :)
gruß
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> Wenn ich jetzt die Funktion [mm]f:\IR\to\IR ,\quad x\to a;\quad a\in\IR=const.[/mm]
> betrachte, ist das dann ein endlicher Bildbereich?
Klar.
> Wäre ja dann nur die Menge [mm]B:=\{a\}[/mm]
> Dann wären konstante Funktionen schon mal solche
> Funktionen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ansonsten fallen mir eigentlich keine mehr ein.
> Ich würde das jetzt erstmal "salopp" damit begründen,
> dass sobald die Funktion noch einen anderen Funktionswert
> annimmt zb [mm]f(\tilde x)=b[/mm], es ein Intervall [mm][x,\tilde x][/mm]
> gibt (oBdA [mm]x<\tilde x[/mm]) auf dem die Funktion stetig ist.
> Dann folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass für jedes
> [mm]\xi\in[x,\tilde x][/mm] ein [mm]c\in[a,b][/mm] (oBdA [mm]\(f(x)
> ex. mit [mm]f(\xi)=c[/mm].
>
> Das intervall [mm][x,\tilde x][/mm] hat jetzt aber nicht mehr
> endlich viele Elemente, daher gibt es auch keine endliche
> Anzahl an Funktionswerten.
> Kommt das der Sache schon näher?
Ich denke, dass du meinen Hinweis richtig verstanden und
korrekt umgesetzt hast.
LG Al-Chw.
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