stetige Abhängigkeit der Lsg < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geg. sei das AWP [mm] $y'=f(x,y,\lambda), y(\xi)= \zeta$ [/mm] mit $x, [mm] \xi \in [/mm] [a,b], [mm] \zeta, \lambda \in \mathbb{R}.$ [/mm] Die Funktion $f: [mm] [a,b]\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ [/mm] sei stetig und es gelte [mm] $\exists L\in \mathbb{R}, [/mm] L>0, [mm] \forall x\in [/mm] [a,b] [mm] \forall y_1,y_2,\lambda \in \mathbb{R}: [/mm]
[mm] $|f(x,y_1,\lambda)-f(x,y_2,\lambda)|\le L|y_1-y_2|. [/mm] $
Man zeige: [mm] $\exists! y:[a,b]\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}, (x,\lambda) \to y(x,\lambda)$ [/mm] gibt, die nach $x$ partiell diffbar ist und für die gilt: [mm] $\frac{\partial y}{\partial x}(x,\lambda) [/mm] = [mm] f(x,y(x,\lambda),\lambda), y(\xi)= \zeta$ [/mm] |
Leider wurden keine Beispiele zu diesem Problem angeführt, sodass mir leider die Intuition fehlt hier eine Idee entwickeln zu können.
Ich bitte um einen Hinweis. :)
P.S. Habe das Gefühl, dass ein bisschen einer meiner letzten hier geposteten Aufgaben anwendbar ist. Denn der mittlere Ausdruck [mm] $y(x,\lambda)$ [/mm] dürfte irgendeine Schlüsselrolle spielen, zusammen mit einer Exponentialfunktion wo ich wahrscheinlich ein Maximum bestimmen könnte (der dann nach dem Satz von Weierstraß existieren würde). Aber leider weiß ich (noch) nicht wie ich diese Idee formalisieren könnte. :/
Wäre für Hilfe sehr dankbar! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 17.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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