stetiger Operator? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Es sei d [mm] =\{ x = (x_j)_{j \in \mathbb{N}}: x_j \not=0 \quad \text{für höchstens endlich viele j } \} [/mm] und T: d [mm] \rightarrow \mathbb{R} [/mm] gegeben durch
Tx = [mm] \sum_{j=1}^{\infty} [/mm] j [mm] x_j [/mm] (jeweils endliche Summe).
Zeige, dass T bzgl keiner [mm] l_p [/mm] -Norm stetig ist. |
Hallo,
wir hatten in der VL einen Satz der drei Äquivalenzen für einen linearen Operator T: X [mm] \rightarrow [/mm] Y:
(i) T ist stetig.
(ii) T ist in 0 stetig.
(ii) [mm] \exists [/mm] c < [mm] \infty [/mm] mit [mm] \|Tx\|_X \leq [/mm] c [mm] \|x\|_Y \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X.
Ich hatte gehofft hier (iii) verwenden zu können, also zu zeigen dass es so ein c nicht gibt und dieses Teil nicht beschränkt ist.
Dazu müsste ich wohl zeigen, dass [mm] \frac{\|Tx\|}{\|x\|} \rightarrow \infty.
[/mm]
Hm, allerdings bin ich damit noch nicht weiter gekommen:
[mm] \frac{\|Tx\|_X}{\|x\|_Y} [/mm] = [mm] \left \| \frac{Tx}{\|x\|_Y} \right \|_X,
[/mm]
jetzt kann ich für Tx noch diese Summe einsetzen, aber dann?
Wie kann ich es für wirklich alle Normen zeigen? Und macht es etwas aus, dass die eine Norm in X und die andere in Y liegt?
Viele Grüße,
Riley
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Fr 13.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei d [mm]=\{ x = (x_j)_{j \in \mathbb{N}}: x_j \not=0 \quad \text{für höchstens endlich viele j } \}[/mm]
> und T: d [mm]\rightarrow \mathbb{R}[/mm] gegeben durch
>
> Tx = [mm]\sum_{j=1}^{\infty}[/mm] j [mm]x_j[/mm] (jeweils endliche Summe).
>
> Zeige, dass T bzgl keiner [mm]l_p[/mm] -Norm stetig ist.
> Hallo,
> wir hatten in der VL einen Satz der drei Äquivalenzen für
> einen linearen Operator T: X [mm]\rightarrow[/mm] Y:
> (i) T ist stetig.
> (ii) T ist in 0 stetig.
> (ii) [mm]\exists[/mm] c < [mm]\infty[/mm] mit [mm]\|Tx\|_X \leq[/mm] c [mm]\|x\|_Y \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] X.
>
> Ich hatte gehofft hier (iii) verwenden zu können, also zu
> zeigen dass es so ein c nicht gibt und dieses Teil nicht
> beschränkt ist.
gute Idee !
sei n [mm] \in \IN [/mm] und x= (0,0, ....0, 1, 0,....) ., wobei die 1 an der n-ten Stelle steht
In jeder [mm] l_p [/mm] - Norm ist dann ||x|| =1 und Tx = n.
Wäre also T stetig, so ex. c mit
n = |Tx| [mm] \le [/mm] c||x|| = c
Da n [mm] \in \IN [/mm] beliebig war folgt der Widerspruch: n [mm] \le [/mm] c für jedes n.
FRED
>
> Dazu müsste ich wohl zeigen, dass [mm]\frac{\|Tx\|}{\|x\|} \rightarrow \infty.[/mm]
>
> Hm, allerdings bin ich damit noch nicht weiter gekommen:
>
> [mm]\frac{\|Tx\|_X}{\|x\|_Y}[/mm] = [mm]\left \| \frac{Tx}{\|x\|_Y} \right \|_X,[/mm]
>
> jetzt kann ich für Tx noch diese Summe einsetzen, aber
> dann?
>
> Wie kann ich es für wirklich alle Normen zeigen? Und macht
> es etwas aus, dass die eine Norm in X und die andere in Y
> liegt?
>
> Viele Grüße,
> Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für deine schnelle Antwort!
Nochmal eine kurze Rückfrage. Dann wählt man quasi am Anfang schon ein n > c, oder?
Viele Grüße & vielen Dank
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Fr 13.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Technisch gesehen würde man sagen "Angenommen es gibt so ein [mm] $c\in\IR$, [/mm] ..., wähle $n>c$, ..., Widerspruch."
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Riley |
ok, dankeschön! 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Robert,
doch noch eine Frage, was muss in die Pünktchen zwischen c [mm] \in \R [/mm] und wähle n > c?
Also was garantiert mir, dass ich ein n > c finde`? Dass n von vorneherein beliebig war?
Viele Grüße,
Riley
> Technisch gesehen würde man sagen "Angenommen es gibt so
> ein [mm]c\in\IR[/mm], ..., wähle [mm]n>c[/mm], ..., Widerspruch."
>
> Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Mi 18.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Angenommen, T ist stetig, d.h. es gibt [mm] $c\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\|Tx\|\le c\|x\|$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] d$. Wähle nun ein $n>c$ und betrachte [mm] $x:=(\delta^n_j)_{j\in\IN}\in [/mm] d$. Dann ist [mm] $n=\|Tx\|\le c\|x\|=c$, [/mm] Widerspruch.
Das ist im Grunde genau was Fred geschrieben hatte, ich persönlich mag seine Variante mehr, sein Beweis hört auf an der Stelle [mm] "$\forall n\in\IN:n\le [/mm] c$ ist ein Widerspruch". Dieser hier ist m.E. ein bischen "Anfänger-freundlicher".
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
okay, danke vielmals für die Erklärungen!
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
|
