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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Di 22.08.2006 | | Autor: | kelviser |
| Aufgabe | | untersuche ob man die funktion [mm] e^{-6/x^2} [/mm] so ergänzen kann, das man eine reelle stetige funktion erhält? |
stetigkeit hatte ich schonmal, aber auf die stetige ergänzung sind wir leider nicht eingegangen......
ich schätze aber mal, das es die null ist, denn es gil e^ß = 1...
ich weiss nicht, ob es etwas hiermit zu tun hat, aber war mal so ein ansatz bzw. eine idee.
danke im voaraus an alle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Mi 23.08.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
das die Funktion in [mm] $\IR$ [/mm] außer dem Nullpunkt stetig ist, dürfte Dir klar sein.
Damit sie auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] stetig fortsetzbar ist, müssen der rechtsseitige und linksseitige Limes (Grenzwert) gleich sein, d.h. bei Annäherung an den Nullpunkt von links und rechts muss der selbe Funktionswert sein.
Das ist hier der Fall, denn:
[mm] $\limes_{\underset{\underset{x\not=0}{x>0}}{x\rightarrow 0}}e^{\bruch{-6}{x^2}}=0$
[/mm]
und
[mm] $\limes_{\underset{\underset{x\not=0}{x<0}}{x\rightarrow 0}}e^{\bruch{-6}{x^2}}=0$
[/mm]
Damit lässt sich die Funktion im Nullpunkt stetig fortzsetzten zu:
[mm] $f(x)=\begin{cases} e^{\bruch{-6}{x^2}}, & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}$
[/mm]
Damit ist [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] stetig auf ganz [mm] $\IR$.
[/mm]
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Falls Du Dich bildlich davon überzeugen möchtest, dann lade Dir z.B. "Graphmatica" aus dem Internet runter und gebe die Funktion ein. Wenn Du den Nullpunkt dann betrachtest, siehst Du das die Graphen im Nullpunkt glatt ineinander laufen.
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Ciao Denny
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