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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mi 11.01.2006 | | Autor: | slash |
| Aufgabe | Beweise mittels [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Definition, dass [mm] x^{2}
[/mm]
und [mm] x^{0.5} \forall [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0 stetig sind. |
Hallo,
diese Frage wurde in keinem anderen Forum gepostet.
Ich kann mir unter diesen deltas und epsilons einfach nichts vorstellen.
Ich finde immer, dass man mit ein paar Winkelzügen und manchmal doch schon haarsträubenden Abschätzungen fast für jede Funktion Stetigkeit herausbekommen kann.
Daher hätte ich gerne mal einen Vorschlag bzw. eine Lösung von jemandem, der's richtig drauf hat und auch sagen kann, wo die "Grenzen" bei diesen Abschätzungen liegen, soll heißen, wann hab ich zu grob, wann zu wenig abgeschätzt.
Danke, slash.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich bin ziemlich müde, daher gebe ich mal nur für [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] eine mögliche Abschätzung an, um die Stetigkeit in einem [mm] $x_0$ [/mm] zu zeigen:
Es sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt. Dann gilt für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta:= \min\left\{1 , \frac{\varepsilon}{1 + 2|x_0|} \right\}$:
[/mm]
[mm] $|x^2-x_0^2| [/mm] = [mm] |x-x_0| \cdot |x+x_0| \le \delta \cdot (|x-x_0| [/mm] + [mm] 2|x_0|) [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{1+2|x_0|} \cdot [/mm] (1 + [mm] 2|x_0|) [/mm] = [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Wie du siehst, hängt das [mm] $\delta$ [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] ab. Das deutet darauf hin, dass die Stetigkeit nicht gleichmäßig ist...
Schaffst du es für dein anderes Beispiel (nun) selber?
Patentrezepte gibt es leider nicht, aber durchaus den Vorteil einer gewissen Routine...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Sa 14.01.2006 | | Autor: | slash |
hallo,
erst einmal vielen Dank. Diese Abschätzung habe ich auch schon versucht, nur hängt das delta dann ja, wie Du auch sagst, von x0 ab und somit muss die Funktion nicht unbedingt für alle x größer gleich 0 stetig sein.
Oder?
Für eine Hilfe wäre ich dankbar.
slash
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Sa 14.01.2006 | | Autor: | SEcki |
> erst einmal vielen Dank. Diese Abschätzung habe ich auch
> schon versucht, nur hängt das delta dann ja, wie Du auch
> sagst, von x0 ab und somit muss die Funktion nicht
> unbedingt für alle x größer gleich 0 stetig sein.
> Oder?
Doch, natürlich. Für jedes [m]x_0>0[/m] macht man diese Rechnung, und erhält so die gewünschte Eigenschaft.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 So 15.01.2006 | | Autor: | slash |
Ok.
HAbe ich verstanden.
Warum gilt dies jedoch nur für x größer gleich 0?
ich verwende doch überall betragsstriche?
slash
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 So 15.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo slash!
Die Wurzelfunktion $y \ = \ [mm] \wurzel{x} [/mm] \ = \ [mm] x^{0.5}$ [/mm] ist nur definiert für nicht-negative Argumente (also: $x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ ). Daher können wir uns bei den Nachweisen auch lediglich rechtsseitig an den Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ annähern.
Gruß
Loddar
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