stetigkeit cosinus < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | | Beweisen Sie die Stetigkeit für einen beliebigen Punkt [mm] x_0 [/mm] von f(x) = cos x |
Hallo!
Habe mir gerade diese Aufgabe selber ausgedacht;) weil ich nun zwar den beweis fuer den sinus kann, aber nicht den für den cosinus.
wollte das für [mm] x_0 [/mm] = 0 machen, habe dann die gleichung
| cos x -1 |< [mm] \varepsilon [/mm] und |x|< [mm] \delta
[/mm]
beim sinus konnte man dann schön die aussage treffen: | sinx| [mm] \le [/mm] |x|
aber das geht ja beim cosinus nicht.
wie muss ich hier dann vorgehen?
Oder muss ich den Cosinus dann als Taylorentwicklung umschreiben?
Danke!
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Hiho,
wenn du da weiterumformen willst, hilft dir wahrscheinlich:
$|cosx - 1| = [mm] 2|sin^2\bruch{x}{2}|$.
[/mm]
Aber wenns wirklich in IRGENDEINEM Punkt sein soll, nimm $x = [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] und nutze dann die Verschiebung von $cos => sin$ und deine Abschätzung
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
hallo,
ich habe die 2. variante mal probiert.
es wäre dann [mm] x_0 [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
also:
[mm] |x-\bruch{\pi}{2}| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] | cosx-0| < [mm] \varepsilon
[/mm]
mit der Verschiebung nutzen ist doch gemeint:
cosx = sin [mm] (x-\bruch{\pi}{2}) [/mm] ??
kann ich dann abschätzen: [mm] \varepsilon [/mm] >|sin [mm] (x-\bruch{\pi}{2}) [/mm] | [mm] \le [/mm] |x- [mm] \bruch{\pi}{2}| [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
[mm] \Rightarrow \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] ?
danke fürs durchlesen und die hilfe!
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Hiho,
> mit der Verschiebung nutzen ist doch gemeint:
>
> cosx = sin [mm](x-\bruch{\pi}{2})[/mm] ??
> kann ich dann abschätzen: [mm]\varepsilon[/mm] >|sin
> [mm](x-\bruch{\pi}{2})[/mm] | [mm]\le[/mm] |x- [mm]\bruch{\pi}{2}|[/mm] < [mm]\delta[/mm]
Nein, weil du ja in zwei verschiedene Richtungen abschätzt, das geht nicht.
Es geht auch viel einfacher:
$|cos x| = |sin(x - [mm] \bruch{\pi}{2})| [/mm] < |x - [mm] \bruch{\pi}{2}| [/mm] < [mm] \delta$
[/mm]
Überleg dir mal, wie das erste < - Zeichen zustande kommt 
Analog dazu führt Weg 1 mit diesem Schritt auch zum Ziel, versuch das mal.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm sorry, ich weiss leider nicht wie du das meinst.
stimmt denn das erste kleiner zeichen nicht?
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Das erste kleiner-Zeichen kommt dadurch zustande, dass sin(x - [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] ja im Bereich um 0 ist und daher die Abschätzung möglich ist.....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm, leider komme ich damit gerade auch nicht weiter.
kannst du mir ncohmal helfen?
danke!
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> hm, leider komme ich damit gerade auch nicht weiter.
Eine genaue Fragestellung wäre schon hilfreich, steht ja schliesslich alles da..... WO kommst du nicht weiter und WAS verstehst du daran nicht?
> kannst du mir ncohmal helfen?
Generell ja.... wenn du mal klärst, was dein Problem ist 
> danke!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm ich komme bei dieser ungleichungskette nicht weiter:
|cosx|= |sin [mm] (x-\pi/2)|< x-\pi/2 [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
da |cosx| < [mm] \varepsilon [/mm] sein soll,
muss nicht delta < [mm] \varepsilon [/mm] sein, damit es funktioniert. aber das darf ich ja nicht, weil es 2 unterschiedliche abschätzrichuntgen sind, und daher weiss ich nicht weiter wie ich es sonst machen soll ...
konkreter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir hatten doch:
(*) $ |cos x| = |sin(x - [mm] \bruch{\pi}{2})| \le [/mm] |x - [mm] \bruch{\pi}{2}| [/mm] $
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Dein Ziel ist doch, ein [mm] \delta [/mm] > 0 zu finden mit:
$ |cos x|< [mm] \varepsilon [/mm] $ , falls |x - [mm] \bruch{\pi}{2}| [/mm] < [mm] \delta.
[/mm]
Nun schau Dir (*) nochnmal an. Wie wirst Du [mm] \delta [/mm] wohl zu wählen haben ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm,
hatte doch vorher schon geschrieben, dass
[mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] sein müsste, damit das stimmt.
oder liege ich damit fehl?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> hm,
>
> hatte doch vorher schon geschrieben, dass
>
> [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] sein müsste, damit das stimmt.
>
> oder liege ich damit fehl?
Nein, alles O.K.
FRED
>
>
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