stetigkeit und differenzierbar < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Kulli |
hey,
ich bin grad dabei alles in mathe so etwas zu wiederholen und bin jetzt bei stetigkeit und differenzierbarkeit angelangt..
stetig bedeutet also anschaulich gesagt man muss den graphen ohne abzusetzen zeichnen können und differenzierbar bedeutet der graph darf keinen knick haben..
soweit so gut..
aaber wieso werden fir funktionen so geteilt aufgeschrieben?
z.B.
f(x) = x² für x [mm] \le [/mm] 0
0 für x> 0
und x0=0
also dass man da links und rechtsseitigen grenzwert usw untersuchen muss ist mir klar, ab er wieso wirds nicht wie bei allen anderen themen auch als ganz normale funktion aufgeschrieben? das verstehe ich irgendwie nicht os wirklihc..
wie rechne ich diese aufgabe denn jetzt?
schrebie ich einfach:
[mm] l-\limes_{x\rightarrow\0} [/mm] x² = 0
[mm] r-\limes_{x\rightarrow\0} [/mm] 0 = 0
und f(0) = 0
und deshalb ist ja l-lim = f(x0) = r-lim
und deshalb ist die fkt. stetig.....
und für die differenzierbarkeit rechne ich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\x0}= \bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0}
[/mm]
und dann??
[mm] \bruch{x²-x0²}{x-x0} [/mm] und jetzt x gegen 0 laufen lassen oder wie?
wär lieb wenn mir da jmd einfach einmal vorrechnen kann wie das geht.. in meinen heften ist das nie so richtig gerehcnet und in den büchern stehts irgendwei viel komplizierter....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Sa 21.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Kulli,
> aaber wieso werden fir funktionen so geteilt aufgeschrieben?
 Kann's sein, dass Du einigermaßen "10-Finger-blind" schreibst (die -> fir)?
Weils sonst zu einfach wäre.
Das ist gar nicht so blöd, wie's zunächst klingt.
Ihr kennt bisher keine "normale" Funktion, die zwar stetig ist, aber nicht differenzierbar. Also muss man sich welche basteln.
"Deine" Funktion sieht links vom Ursprung aus wie eine (halbe) Parabel und rechts davon liegt sie als halbe Gerade auf der x-Achse. Die Anschauung sagt schon: kein Knick.
Stell Dir aber z.b. den Grafen zu folgender Funktion vor:
[mm] $k(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x \le 0 \\ 2x, & \mbox{für } 01\end{cases}$
[/mm]
links halbe Parabel, von 0 bis 1 kurzes Geradenstück mit Steigung 2, für x>1 dann Waagerechte.
Eindeutig nicht stetig diff'bar, sondern geknickt.
Sowas ist gar nicht mal so abgefahren. Wenn man z.B. die Provisionen für Ebay-Verkäufe als Funktion der Verkaufspreises oder die Einkommenssteuer in Abhängigkeit vom Einkommen darstellen will, landet man bei sowas.
> schrebie ich einfach:
> [mm]l-\limes_{x\rightarrow 0}x² = 0[/mm]
> [mm]r-\limes_{x\rightarrow 0} 0 = 0[/mm]
> und f(0) = 0
> und deshalb ist ja l-lim = f(x0) = r-lim
> und deshalb ist die fkt. stetig.....
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und für die differenzierbarkeit rechne ich:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x0}= \bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0}[/mm]
Warum nicht gleich:
[mm] $l-\limes_{x\rightarrow 0} f'(x_0) [/mm] = [mm] 2x_0=0$
[/mm]
[mm] $r-\limes_{x\rightarrow 0} f'(x_0) [/mm] =0 $
Somit: [mm] $l-\limes_{x\rightarrow 0} f'(x_0)=r-\limes_{x\rightarrow 0} f'(x_0) \Rightarrow$ [/mm] stetig diff'bar.
Denn:
[mm] $f'(x)=\begin{cases} 2x, & \mbox{für }x\le0 \\ 0, & \mbox{für } x>0 \end{cases}$
[/mm]
Jetzt könntest Du noch mal eben mein obiges $k(x)$ bei [mm] $x_0=0$ [/mm] und bei [mm] $x_1=1$ [/mm] auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit untersuchen (Kleine "Besonderheit" bei [mm] $x_1$).
[/mm]
Schöne Grüße,
ardik
PS:
Ach, wie sieht's denn für $g(x) = [mm] \bruch{x^2-4}{x-2}= \bruch{(x-2)(x+2)}{x-2}$ [/mm] mit der Differenzierbarkeit bei [mm] $x_0=2$ [/mm] aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Sa 21.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kuli
Ardik hat nen kleinen Fehler gemacht: stetig UND differenzierbar ist was anderes als stetig differenzierbar!
Wenn auch die Ableitungsfunktion noch setig ist, dann ist die Fkt. stetig differenzierbar. Wenn sie nur differenzierbar ist könnte sie noch unstetig sein, (kommt aber auf der Schule nicht vor)
2. Im allgemeinen muss man die Differenzierbarkeit mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten beweisen. wenn die zusammengesetzten Funktionen aber bis zu der einen Stelle differenzierbar sind, einschließlich der Stelle, dann ist es dasselbe, den GW der Ableitung der 2 funktionenteile zu nehmen.
Gruss leduart
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![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]"){kind=small}
Da hab ich doch aber gar nicht gleichgesetzt! ![[bussi]](/images/smileys/bussi.gif "[bussi]"){kind=small}
![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]"){kind=small}
