stetigkeit von bruch im R hoch < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Di 11.11.2014 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Untersuchen sie die Abbildungen auf stetig bzw. gleichmäßige stetigkeit
a)[mm] f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R , x \rightarrow\frac{1}{1+|x|^2}[/mm]
hierbei sei [mm]\mathbb R^n[/mm] mit der euklidischen norm [mm]|x|= ^\frac{1}{2} = (\sum_{i=1}^{n} x_i^2)^\frac{1}{2} [/mm] ausgestattet
b) [mm]i:\mathbb{R}^n\setminus{0} \rightarrow \mathbb R^n , x \rightarrow\frac{x}{|x|^2}[/mm]
und [mm]|.| [/mm]genau wie bei a) |
Hallo :)
danke für ihre Aufnahme in das Forum.
Bei der a) hab ich ,dass es Lipschitz stetitg bzw. gleichmäßig stetig ist
Bew.:
[mm] f(x)-f(y) \leq L* x-y [/mm] .
Darausfolgt [mm] \frac{1}{1+|x|^2} - \frac{1}{1+|y|^2}=\frac{|y|^2-|x|^2}{(1+|y|^2)*(1+|x|^2)}= \frac{(|y|+|x|)(|y|-|x|)}{(1+|y|^2)*(1+|x|^2)} = (|y|-|x|)*\frac{(|y|+|x|)}{(1+|y|^2)*(1+|x|^2)} [/mm].
Jedoch hakt es jetzt bei der Abschätzung zur Lipschitz konstante.
Bei der b) habe ich den tipp erhalten ,dass es stetig ist,aber ich weis jetzt nicht,wie ich weiter vorgehen soll.Da ich ja glm.stetigkeit auch wiederlegen muss.
Danke für Hilfen im Voraus
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=548523
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mi 12.11.2014 | | Autor: | LGS |
zu aufgabe b habe ich mir gedacht,dass man mit dem Folgenkrit. die punktweise stetigkeit zeigt.
ich nehme mir die folgen [mm] x_n:= \frac{1}{n} [/mm] und [mm] y_n:=\frac{2}{n}[/mm]
Das wäre ja dann [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n-x_n = \frac{2}{n}-\frac{1}{n} = \frac{1}{n} = 0[/mm]
und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(y_n)-f(x_n) = \frac{\frac{2}{n}}{|\frac{2}{n}|^2}-\frac{\frac{1}{n}}{|\frac{1}{n}|^2} = \frac{2|n|^2}{n|2|^2}-\frac{|n|^2}{n}[/mm] und beide Brüche gehen gegen unendlich wenn n gegen unendlich geht [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} f(y_n)-f(x_n) = \frac{\frac{2}{n}}{|\frac{2}{n}|^2}-\frac{\frac{1}{n}}{|\frac{1}{n}|^2} = \frac{2|n|^2}{n|2|^2}-\frac{|n|^2}{n} \neq 0[/mm]
Folgerung. Ist nicht gleichmäßig stetig, sondern nur punktweise
ist das so ok?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mi 12.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zu aufgabe b habe ich mir gedacht,dass man mit dem
> Folgenkrit. die punktweise stetigkeit zeigt.
>
> ich nehme mir die folgen [mm]x_n:= \frac{1}{n}[/mm] und
> [mm]y_n:=\frac{2}{n}[/mm]
ist bei Dir der [mm] $\IR^n$ [/mm] denn schon speziell durch [mm] $n\,$ [/mm] konkretisiert? Aber gut:
Sei erstmal [mm] $n=1\,,$ [/mm] und dann sollten wir besser [mm] $x_k=1/k$ [/mm] und [mm] $y_k=2/k$ [/mm] schreiben,
denn *n wurde ja schon verbraten*!
Warum nimmst Du spezielle Nullfolgen? Ich dachte, Du wolltest die Stetigkeit
beweisen - oder willst Du sie doch viel eher widerlegen? Ist eigentlich
[mm] $i(0)\,$
[/mm]
definiert (etwa [mm] $=0\,$?). [/mm] Ansonsten ist die Frage, ob die Funktion stetig in
$0 [mm] \in \IR^n$ [/mm] ist, doch wohl unsinnig... Oder geht es um stetige Fortsetzbarkeit?
> Das wäre ja dann [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n-x_n = \frac{2}{n}-\frac{1}{n} = \frac{1}{n} = 0[/mm]
Ähm... ja und? Wofür brauchst Du das?
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(y_n)-f(x_n)[/mm]
Wozu berechnest Du überhaupt [mm] $f(y_k)-f(x_k)$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$? [/mm] (Wie gesagt: n ist
schon *verbraten*!)
> [mm]= \frac{\frac{2}{n}}{|\frac{2}{n}|^2}-\frac{\frac{1}{n}}{|\frac{1}{n}|^2} = \frac{2|n|^2}{n|2|^2}-\frac{|n|^2}{n}[/mm]
[mm] $\blue{=\frac{n}{2}-n=-\frac{n}{2} \to -\infty}$
[/mm]
> und beide Brüche gehen gegen unendlich wenn n gegen
> unendlich geht [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} f(y_n)-f(x_n) = \frac{\frac{2}{n}}{|\frac{2}{n}|^2}-\frac{\frac{1}{n}}{|\frac{1}{n}|^2} = \frac{2|n|^2}{n|2|^2}-\frac{|n|^2}{n} \neq 0[/mm]
Das ist unsinnig. Dann wäre
[mm] $0=\lim_{k \to \infty}0=\lim_{k \to \infty} [/mm] (k-k)$
auch [mm] $\not=0\,,$ [/mm] weil ja "beide Brüche [mm] $k/1\,$" [/mm] auch gegen [mm] $\infty$ [/mm] gehen bei $k [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
> Folgerung. Ist nicht gleichmäßig stetig, sondern nur punktweise
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ?????????
> ist das so ok?
Nein, leider nicht:
1. Du kannst Dir natürlich erstmal den Fall [mm] $n=1\,$ [/mm] speziell angucken, aber in
der Aufgabe wird n nicht spezifiziert.
2. Die Untersuchung der Stetigkeit einer Funktion ist nur interessant an allen
Stellen ihres Definitionsbereichs. Entweder hast Du vergessen, [mm] $i(0)\,$ [/mm] mit
anzugeben, oder aber es könnte noch sein, dass es um die Frage der
stetigen Fortsetzbarkeit geht.
Ansonsten: In [mm] $0\,$ [/mm] ist [mm] $i\,$ [/mm] weder stetig noch unstetig. Interessiert aber auch
niemanden, da [mm] $i\,$ [/mm] hier in [mm] $0\,$ [/mm] undefiniert ist.
3. Ohne irgendwas gerechnet zu haben, sehe ich sofort, dass
[mm] $i\,$ [/mm] stetig (auf [mm] $\IR^n \setminus \{0\}$)
[/mm]
ist.
4. [mm] $i\,$ [/mm] ist nicht glm. stetig.
Und jetzt sehe ich erst, was Du machen willst: Du wolltest vielleicht speziell
für den Fall [mm] $n=1\,$ [/mm] oben nachweisen, dass [mm] $i\,$ [/mm] nicht glm. stetig ist. Dahingehend
sind Deine Überlegungen brauchbar. Aber Du musst da definitiv mal mehr
dazuschreiben, was Du gerade machst und wozu.
Okay, also für den Fall [mm] $n=1\,$ [/mm] hast Du gezeigt:
Mit [mm] $(x_k)_k$ [/mm] und [mm] $(y_k)_k$ [/mm] wie oben gilt:
Für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $K=K_\delta \in \IN$ [/mm] so, dass für alle $k [mm] \ge [/mm] K$
[mm] $|y_k-x_k| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] (woraus folgt das bei Deinen Überlegungen?)
aber (mit der von mir korrigierten Rechnung)
[mm] $|f(y_k)-f(x_k)| \ge [/mm] k/2 [mm] \ge [/mm] K/2 [mm] \ge 1/2\,.$
[/mm]
Das bedeutet: Zu [mm] $\epsilon:=1/4 [/mm] > 0$ gibt es KEIN [mm] $\delta [/mm] > 0$ derart, dass... [mm] ($\longleftarrow$ [/mm] vollende diesen Satz bitte).
Also, ich korrigiere mich: was die "Nichtglm. Stetigkeit" betrifft: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber schön aufgeschrieben ist das so nicht...
Außerdem: Du hast bisher NUR gezeigt, dass [mm] $i\,$ [/mm] im Falle [mm] $n=1\,$ [/mm] nicht glm. stetig ist.
Was ist mit dem Rest?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mi 12.11.2014 | | Autor: | LGS |
Hallo Marcel,
ich möchte mich entschuldigen,wenn meine Antwort mehr Verwirrung als Klarheit geschaffen hat. Ich weis halt das die Funktion nicht gleichmäßig stetig sondern nur stetig ist.
Ich möchte jetzt beides Beweisen.
Ich fange mit der Stetigkeit an.
Def.:
[mm] \forall \epsilon >0 \exists \delta >0 : \forall x \in X[/mm] mit [mm]d(x,x_0)< \delta[/mm] sodass [mm]d(f(x),f(x_0)) <\epsilon [/mm]
Ich habe jetzt den Ansatz
[mm]\frac{x}{|x|^2}-\frac{x_0}{|x_0|^2}= \frac{x*|x_0|^2-x_0*|x|^2}{|x_0|^2*|x|^2} \leq x*|x_0|^2-x_0*|x|^2[/mm]
jetzt komme ich wieder nicht weiter ,es ist alles ein teufelswerk,welches mich wahnsinnig macht.
sorry:(
und liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mi 12.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
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> ich möchte mich entschuldigen,wenn meine Antwort mehr
> Verwirrung als Klarheit geschaffen hat. Ich weis halt das
> die Funktion nicht gleichmäßig stetig sondern nur stetig
> ist.
>
> Ich möchte jetzt beides Beweisen.
>
> Ich fange mit der Stetigkeit an.
>
>
> Def.:
>
> [mm]\forall \epsilon >0 \exists \delta >0 : \forall x \in X[/mm]
> mit [mm]d(x,x_0)< \delta[/mm] sodass [mm]d(f(x),f(x_0)) <\epsilon[/mm]
>
> Ich habe jetzt den Ansatz
>
> [mm]\frac{x}{|x|^2}-\frac{x_0}{|x_0|^2}= \frac{x*|x_0|^2-x_0*|x|^2}{|x_0|^2*|x|^2} \leq x*|x_0|^2-x_0*|x|^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> jetzt komme ich wieder nicht weiter ,es ist alles ein
> teufelswerk,welches mich wahnsinnig macht.
>
>
> sorry:(
>
> und liebe grüße
das können wir gerne auch nochmal zur Übung machen, aber ich würde
es mit "stetig = folgenstetig" beweisen:
Sei $0 \not=x \in \IR^n\,.$ Seien $0 \not=x_k \in \IR^n$ mit $\|x_k-x\|_2 \to 0$ (d.h. $x_k \to x$ bzgl. $\|.\|_2$).
Es ist
$\|f(x_k)-f(x)\|_2 \to 0$ ($k \to \infty$)
zu beweisen: Es gilt für jedes $k\,$
$\|f(x_k)-f(x)\|_2=\left\|\frac{x_k}{\|x_k\|_2^2}-\frac{x}{\|x\|_2^2}}\right\|_2=\left\|\frac{x_k*\|x\|_2^2-x*\|x_k\|_2^2}{\|x\|_2^2*\|x_k\|_2^2}}\right\|_2=\frac{1}{\|x\|_2*\|x_k\|_2^2}*\left\|x*\|x_k\|_2^2-x_k*\|x\|_2^2\right\|_2\,.$
Jetzt wären wir fast fertig - was uns noch fehlt, ist folgendes: Wir müssen
nur noch
$\|x_k\|_2 \not\to 0$
begründen. Versuch' das mal unter Beachtung von $\|x_k-x\|_2 \to 0$ UND $x \not=0$ $\Rightarrow$ $\|x\|_2 > 0\,.$
P.S. Weiterer Hinweis: Du darfst die Stetigkeit der Norm $\|.\|_2$ benutzen:
Aus $\|y_k-y\|_2 \to 0$ folgt
$\lim_{k \to \infty} \|y_k\|_2=\|y\|_2\,,$
also
$\lim_{k \to \infty} \red{|\;}\|y_k\|_2-\|y\|_2\red{\;|}=0\,.$
(Außen steht hier der Betrag $|.|\,$ in $\IR^1=\IR\,.$)
P.P.S. Die Stetigkeit der Norm folgt aus der umgekehrten Dreiecksungleichung:
$|\;\|x\|_2-\|y\|_2\;| \le \|x-y\|_2$ (links stehen außen wieder die Betragsstriche aus $\IR$)
Der Beweis geht vollkommen analog zum Fall $\IR^1\,.$ Die Dreiecksungleichung
selbst folgt im $\IR^n$ etwa nach Minkowski.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Do 13.11.2014 | | Autor: | LGS |
Hallo Marcel :),
danke für deine Tipps und Ratschläge.
Ich versuche diese hoffentlich mal direkt umzusetzen.
"Versuch' das mal unter Beachtung von $ [mm] \|x_k-x\|_2 \to [/mm] 0 $ UND $ x [mm] \not=0 [/mm] $ $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ $ [mm] \|x\|_2 [/mm] > [mm] 0\,. [/mm] $"
Es gibt ja das Axiomon der Definitheit für Normen, wenn [mm] ||x||=0 => x=0[/mm],welches du ja oben nur negiert hast, also wenn x ungleich null ist muss es echt größer sein.
Benutze ich jetzt die stetigkeit der Norm würde ja von [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} ||x_k-x||_2 => [/mm]mit stetigkeit der Norm [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} ||x_k||_2=||x||_2 [/mm]
und da die Null ja nicht im Definitionsbereich ist kann das Ding nicht 0 werden, da eine norm nur null wird wenn $x=0$ ist aber wir sind ja im $ [mm] \IR^n \setminus \{0\}$. [/mm] Darum geht [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} ||x_k||_2 [/mm] $gegen einen positiven Grenzwert.
Das müsste doch stimmen so oder?
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Do 13.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel :),
>
>
> danke für deine Tipps und Ratschläge.
>
> Ich versuche diese hoffentlich mal direkt umzusetzen.
>
>
> "Versuch' das mal unter Beachtung von [mm]\|x_k-x\|_2 \to 0[/mm] UND
> [mm]x \not=0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\|x\|_2 > 0\,. [/mm]"
>
> Es gibt ja das Axiomon der Definitheit für Normen, wenn
> [mm]||x||=0 => x=0[/mm],welches du ja oben nur negiert hast,
Du meinst, ich habe die Kontraposition der Aussage formuliert!
> also wenn x ungleich null ist muss es echt größer sein.
"Es" hat einen Namen. Aber okay, ich weiß, was Du meinst. Achte aber
drauf, wenn Du sowas aufschreibst.
> Benutze ich jetzt die stetigkeit der Norm würde ja von
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} ||x_k-x||_2 [/mm]
Du meinst: Betrachten wir [mm] $x_k \to [/mm] x$ bzgl. [mm] $\|.\|_2$ [/mm] bzw.
[mm] $x_k \stackrel{\|.\|_2}{\longrightarrow}x$
[/mm]
bzw. [mm] $\lim_{k \to \infty}\|x_k-x\|_2=0$
[/mm]
> => mit stetigkeit
> der Norm [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} ||x_k||_2=||x||_2[/mm]
> und da die Null ja nicht im Definitionsbereich ist kann das
> Ding nicht 0 werden, da eine norm nur null wird wenn [mm]x=0[/mm]
Auch das ist komisch formuliert: Wir hatten $x [mm] \in \IR^n \setminus \{0\}$ [/mm] hergenommen,
denn letzteres war der Definitionsbereich - daher ist das betrachtete
[mm] $x\,$ [/mm] sicher nicht die $0 [mm] \in \IR^n\,.$
[/mm]
> ist aber wir sind ja im [mm]\IR^n \setminus \{0\}[/mm]. Darum geht
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} ||x_k||_2 [/mm]gegen einen positiven
> Grenzwert.
>
>
> Das müsste doch stimmen so oder?
Ich gebe Dir den Rat, Deine Gedanken klarer zu sortieren, denn das ist
irgendwie verwirrend, wie Du argumentierst. Stell' Dir immer vor, Du müßtest
jeden Gedankengang in *richtiger* Reihenfolge Schritt für Schritt erklären.
Ähnlich strukturiert, wie, wenn man ein selbst geschriebenes Programm
erklären soll.
Aber inhaltlich meinst Du, denke ich, das Richtige!
Das Ganze mal in ganz kurz: Wegen $x [mm] \not=0$ [/mm] (beachte $x [mm] \in \IR^n \setminus \{0\}$) [/mm] ist [mm] $\|x\|_2 [/mm] > 0$ (Grund: Definitheit!) und daher
folgt wegen der Stetigkeit der 2-Norm
[mm] $\lim_{k \to \infty} \|x_k\|_2=\|x\|_2 [/mm] > 0$ (insbesondere [mm] $\lim_{k \to \infty} \|x_k\|_2\not=0$).
[/mm]
So kann man das etwas besser auf den Punkt bringen. ( Fred könnte es
vielleicht noch knapper ohne Informationsverlust formulieren...  )
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Do 13.11.2014 | | Autor: | LGS |
Hallo Marcel,
ja sorry,aber mir gehen dann auf einmal alle ideen durch den kopf und ich weis nicht was ich zuerst aufschreiben soll :D jedoch danke ich dir vielmals für deine konstruktive Kritik und deine Hilfe!!
Danke sehr !!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Do 13.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo Marcel,
>
> ja sorry,aber mir gehen dann auf einmal alle ideen durch
> den kopf und ich weis nicht was ich zuerst aufschreiben soll :D
das wird sich eh im Laufe der Zeit *entwickeln*. Ich sage nur: Je früher,
desto besser.
> jedoch danke ich dir vielmals für deine
> konstruktive Kritik und deine Hilfe!!
>
> Danke sehr !!
Gerne.
Gruß,
Marcel
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