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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:09 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sie betrachten den diskreten Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega,P). X_i:\Omega \rightarrow \chi_i, [/mm] i=1,...,5 seien unabhängige Zufallsvariablen.
Wir definieren bel. Funktionen [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] auf [mm] \chi_1\times \chi_2 [/mm] bzw. [mm] \chi_3\times\chi_4\times\chi_5.
[/mm]
Zeigen Sie: Die Zufallsvariablen [mm] Y_1 [/mm] und [mm] Y_2 [/mm] mit [mm] Y_1(\omega):=f_1(X_1(\omega),X_2(\omega)) [/mm] und [mm] Y_2(\omega):=f_2(X_3(\omega),X_4(\omega),X_5(\omega)) [/mm] sind unabhängig. |
Hallo,
zu zeigen ist nun: [mm] P(Y_1=y_1,Y_2=y_2)=P(Y_1=y_1)\cdot P(Y_2=y_2).
[/mm]
Ich habe da etwas gemacht, glaube aber dass das katastrophal daneben ist.
Ich weiß bereits, dass gilt: [mm] X_{1},...,X_{5} [/mm] sind unabhängig [mm] \Leftrightarrow [/mm] für bel. [mm] A_{i}\subset\chi_{i} [/mm] gilt: [mm] P\left(\bigcap_{i=1}^{n}\{X_{i}\in A_{i}\}\right)=\prod_{i=1}^{n}P(X_{i}\in A_{i}) [/mm] (*).
Nun mache ich nur: Für [mm] y_{1} [/mm] sei [mm] A_{1}=\{x_{12}\in\chi_{1}\times\chi_{2}:\, f_{1}(x_{12})=y_{1}\} [/mm] und für [mm] y_{2} [/mm] sei [mm] A_{2}=\{x_{345}\in\chi_{3}\times\chi_{4}\times\chi_{5}:\, f_{2}(x_{345})=y_{2}\}. [/mm] Dann ist [mm] \{Y_{1}=y_{1}\}=\{X_{1}\times X_{2}\in A_{1}\} [/mm] und [mm] \{Y_{2}=y_{2}\}=\{X_{3}\times X_{4}\times X_{5}\in A_{2}\}.Nach [/mm] (*) gilt dann: [mm] P(Y_{1}=y_{1},\, Y_{2}=y_{2})=P(Y_{1}=y_{1})\cdot P(Y_{2}=y_{2}).
[/mm]
Das erscheint mir aber irgendwie nicht kompatibel, von wegen kartesisches Produkt und so. Ich glaube, dass das wesentlich komplizierter ist. Wie muss man richtig vorgehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 20.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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