strikt konvexe Vektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Let V be a normed vector space. V is called strictly convex if for all x,y [mm] \in [/mm] V with x [mm] \not= [/mm] y and [mm] \|x\| [/mm] = [mm] \|y\|=1 [/mm] it holds that [mm] \| \frac{x+y}{2} \| [/mm] < 1.
(i) Use the parallelogram law to prove that every inner product space is strictly convex.
(ii) Verify that [mm] (R^N,\|*\|_2) [/mm] is strictly convex but [mm] (R^N,\|*\|_1) [/mm] is not strictly convex. |
Hallo,
(i)
in inner product spaces gilt ja dieses parallelogram law:
[mm] 2(\|x\|^2 [/mm] + [mm] \|y\|^2) [/mm] = [mm] \|x+y\|^2 [/mm] + [mm] \|x-y\|^2 [/mm]
D.h. [mm] \|x+y\| [/mm] = [mm] \sqrt{2\|x\|^2 + 2 \|y\|^2 - \|x-y\|^2} [/mm]
= [mm] \sqrt{4 - \|x-y\|^2}
[/mm]
teile auf beiden Seiten durch 2:
[mm] \frac{1}{2} \|x+y\| [/mm] = [mm] \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|x-y\|^2} [/mm] < 1, da Normen j stets größer gleich Null sind. Stimmt das so?
Bei der (ii) komm ich irgendwie nicht hin:
[mm] \|x+y\|_2^2 [/mm] = [mm] \|x\|_2^2 [/mm] + [mm] 2x^T [/mm] y + [mm] \|y\|_2^2 [/mm] = 2 + 2 [mm] x^T [/mm] y, d.h.
[mm] \frac{1}{2} \|x+y\|_2 [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x^Ty}, [/mm] was kann ich mit den [mm] x^T [/mm] y noch machen'? Wie kann ich das abschätzen?
Und ist [mm] (R^N, \|*\|_1) [/mm] dann eigentlich kein inner product space, wenn er nicht strictly convex ist?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Sa 08.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley
> Let V be a normed vector space. V is called strictly convex
> if for all x,y [mm]\in[/mm] V with x [mm]\not=[/mm] y and [mm]\|x\|[/mm] = [mm]\|y\|=1[/mm] it
> holds that [mm]\| \frac{x+y}{2} \|[/mm] < 1.
>
> (i) Use the parallelogram law to prove that every inner
> product space is strictly convex.
>
> (ii) Verify that [mm](R^N,\|*\|_2)[/mm] is strictly convex but
> [mm](R^N,\|*\|_1)[/mm] is not strictly convex.
>
> Hallo,
> (i)
> in inner product spaces gilt ja dieses parallelogram law:
> [mm]2(\|x\|^2[/mm] + [mm]\|y\|^2)[/mm] = [mm]\|x+y\|^2[/mm] + [mm]\|x-y\|^2[/mm]
>
> D.h. [mm]\|x+y\|[/mm] = [mm]\sqrt{2\|x\|^2 + 2 \|y\|^2 - \|x-y\|^2}[/mm]
> = [mm]\sqrt{4 - \|x-y\|^2}[/mm]
>
> teile auf beiden Seiten durch 2:
>
> [mm]\frac{1}{2} \|x+y\|[/mm] = [mm]\sqrt{1 - \frac{1}{4}\|x-y\|^2}[/mm] < 1,
> da Normen j stets größer gleich Null sind.
(es sei denn $x - y = 0$, aber das wurde ja ausgeschlossen.)
> Stimmt das so?
Genau.
> Bei der (ii) komm ich irgendwie nicht hin:
>
> [mm]\|x+y\|_2^2[/mm] = [mm]\|x\|_2^2[/mm] + [mm]2x^T[/mm] y + [mm]\|y\|_2^2[/mm] = 2 + 2 [mm]x^T[/mm] y,
> d.h.
>
> [mm]\frac{1}{2} \|x+y\|_2[/mm] = [mm]\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x^Ty},[/mm]
> was kann ich mit den [mm]x^T[/mm] y noch machen'? Wie kann ich das
> abschätzen?
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Allerdings kannst du ja auch einfach benutzen, dass [mm] $\| [/mm] . [mm] \|_2$ [/mm] von einem Skalarprodukt kommt und somit der Raum ein inner product space ist.
> Und ist [mm](R^N, \|*\|_1)[/mm] dann eigentlich kein inner product
> space, wenn er nicht strictly convex ist?
Ja. Aber das musst du noch zeigen.
Schau dir doch mal den Einheitsball bzgl. [mm] $\| [/mm] . [mm] \|_1$ [/mm] an, etwa fuer $N = 2$. Wenn du zwei Punkte auf dem Rand nimmst, wo liegt dann [mm] $\frac{x + y}{2}$? [/mm] Kannst du $x$ und $y$ jetzt so waehlen, dass [mm] $\frac{x + y}{2}$ [/mm] wieder auf dem Rand liegt?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Felix,
danke für deine Antwort!
Ahja, dann bräuchte ich ja gar nichts weiter zeigen. Aber ich würde es trotzdem gern noch verstehen mit Cauchy-Schwarz, ich seh noch nicht wie ich auf das strenge Ungleichheitszeichen komme. Es würde doch dann folgendes gelten:
[mm] \frac{1}{2} \| [/mm] x [mm] +y\|_2 [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x^T y}
[/mm]
[mm] \leq \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \|x\|_2 \|y\|_2} [/mm] = 1 ??
Also meinst du mit Einheitsball die Menge der [mm] x_i [/mm] mit [mm] \|x\|_1 \leq [/mm] 1, das ist doch dann so ein schräges Quadrat um den Ursprung?
Wenn ich dann z.B. nehme [mm] x=(1,0)^T, [/mm] y=(0, [mm] 1)^T [/mm] , dann ist ja [mm] \frac{1}{2}(x+y) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (1,1)^T, [/mm] liegt also nicht mehr auf dem Rand. Hm, warum soll ich versuchen x und y zu finden so dass (x+y)/2 wieder auf dem Rand liegt? Achso, damit ich ein Gegenbeispiel hab dass nicht " [mm] \|...\| [/mm] < 1" gilt? Aber wie finde ich so ein Paar?
Und wie kommt man eigentlich dazu einen konvexen Vektorraum durch diese Eigenschaft zu definieren? Bis jetzt kannte ich nur die Def für Mengen, dass C konvex ist, wenn für alle x,y [mm] \in [/mm] C und [mm] \lambda \in(0,1) [/mm] gilt dass [mm] \lambda [/mm] x + (1- [mm] \lambda)y [/mm] auch in C liegt.
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Sa 08.03.2008 | | Autor: | felixf |
Moin Riley
> danke für deine Antwort!
>
> Ahja, dann bräuchte ich ja gar nichts weiter zeigen. Aber
> ich würde es trotzdem gern noch verstehen mit
> Cauchy-Schwarz, ich seh noch nicht wie ich auf das strenge
> Ungleichheitszeichen komme. Es würde doch dann folgendes
> gelten:
> [mm]\frac{1}{2} \|[/mm] x [mm]+y\|_2[/mm] = [mm]\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x^T y}[/mm]
>
> [mm]\leq \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \|x\|_2 \|y\|_2}[/mm] = 1
> ??
Genau. Jetzt musst du noch etwas weiteres ueber die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung wissen, und zwar wann dort Gleichheit herrscht. Das tut's naemlich nur dann, wenn $x$ und $y$ linear abhaengig sind. Wenn also [mm] $\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x^T y} [/mm] = 1$ ist, dann sind $x$ und $y$ linear abhaengig, du kannst also $y = [mm] \lambda [/mm] x$ schreiben mit [mm] $\lambda \in \IR$. [/mm] Da [mm] $\| [/mm] x [mm] \|_1 [/mm] = [mm] \| [/mm] y [mm] \|_2$ [/mm] ist folgt [mm] $|\lambda| [/mm] = 1$, also [mm] $\lambda [/mm] = 1$ oder [mm] $\lambda [/mm] = -1$. Die beiden Faelle kannst du jetzt einzelnd anschauen.
> Also meinst du mit Einheitsball die Menge der [mm]x_i[/mm] mit
> [mm]\|x\|_1 \leq[/mm] 1, das ist doch dann so ein schräges Quadrat
> um den Ursprung?
Genau.
> Wenn ich dann z.B. nehme [mm]x=(1,0)^T,[/mm] y=(0, [mm]1)^T[/mm] , dann ist
> ja [mm]\frac{1}{2}(x+y)[/mm] = [mm]\frac{1}{2} (1,1)^T,[/mm] liegt also nicht
> mehr auf dem Rand.
Wieso? Was ist denn [mm] $\| \frac{1}{2} [/mm] (1, 1) [mm] \|_1$?
[/mm]
> Hm, warum soll ich versuchen x und y zu
> finden so dass (x+y)/2 wieder auf dem Rand liegt? Achso,
> damit ich ein Gegenbeispiel hab dass nicht " [mm]\|...\|[/mm] < 1"
> gilt?
Genau.
> Aber wie finde ich so ein Paar?
Hast du doch schon :)
> Und wie kommt man eigentlich dazu einen konvexen Vektorraum
> durch diese Eigenschaft zu definieren? Bis jetzt kannte ich
> nur die Def für Mengen, dass C konvex ist, wenn für alle
> x,y [mm]\in[/mm] C und [mm]\lambda \in(0,1)[/mm] gilt dass [mm]\lambda[/mm] x + (1-
> [mm]\lambda)y[/mm] auch in C liegt.
Ein normierter Vektorraum $(V, [mm] \| \bullet \|)$ [/mm] heisst konvex, wenn der Einheitsball (bzgl. [mm] $\| \bullet \|$) [/mm] konvex ist. Das ist bei Normen (wegen der Dreiecksungleichung) immer der Fall. Interessanter sieht es halt bei strikt konvexen normierten Vektorraeumen aus, da muss der Einheitsball strikt konvex sein.
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> Viele Grüße,
> Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Felix,
cool vielen Dank für deine Erklärungen!
hm, dann ist x=y oder x=-y? D.h. [mm] \|x+y\| \frac{1}{2}= \|x\|_2=1 [/mm] oder [mm] \|x+y\| \frac{1}{2} [/mm] = 0 ? oder muss ich den Term unter der Wurzel anschauen...? irgendwie dreh ich mich im kreis...
Das Gegenbeispiel für die [mm] \|*\|_1 [/mm] - Norm hab ich nun verstanden 
Gilt dan in konvexen Vektoräumen nur [mm] \frac{\|x+y\|}{2} \leq [/mm] 1?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 So 09.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hi Riley
> cool vielen Dank für deine Erklärungen!
>
> hm, dann ist x=y oder x=-y? D.h. [mm]\|x+y\| \frac{1}{2}= \|x\|_2=1[/mm]
> oder [mm]\|x+y\| \frac{1}{2}[/mm] = 0 ?
Genau. Allerdings hast du ja vorausgesetzt, dass $x [mm] \neq [/mm] y$ ist...
> Das Gegenbeispiel für die [mm]\|*\|_1[/mm] - Norm hab ich nun
> verstanden
Schoen.
> Gilt dan in konvexen Vektoräumen nur [mm]\frac{\|x+y\|}{2} \leq[/mm]
> 1?
Fuer [mm] $\|x\|, \|y\| \le [/mm] 1$ ja. Im Allgemeinen (also fuer beliebige $x$, $y$ gilt) [mm] $\frac{\|x+y\|}{2} \le \frac{\|x\| + \|y\|}{2}$, [/mm] also die Dreiecksungleichung...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 So 09.03.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Felix,
ah okay, d.h. [mm] \frac{\|x+y\|_2}{2}= \frac{\| -y + y\|_2}{2} [/mm] = 0 < 1 und das wollten wir zeigen.
Nur nochmal eine Frage zu der linearen Abhängigkeit, warum können wir das (erst) aus dem Schritt [mm] \sqrt{ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \|x\|_2 \|y\|_2} [/mm] = 1 schließen? ... und das dann wieder ganz am Anfang einsetzen?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 So 09.03.2008 | | Autor: | felixf |
Moin Riley
> ah okay, d.h. [mm]\frac{\|x+y\|_2}{2}= \frac{\| -y + y\|_2}{2}[/mm]
> = 0 < 1 und das wollten wir zeigen.
Genau.
> Nur nochmal eine Frage zu der linearen Abhängigkeit, warum
> können wir das (erst) aus dem Schritt [mm]\sqrt{ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \|x\|_2 \|y\|_2}[/mm]
> = 1 schließen? ... und das dann wieder ganz am Anfang
> einsetzen?
Man kann auch gleich am Anfang eine Fallunterscheidung machen zwischen lin. abh. und lin. unabh., und im zweiteren Fall direkt die schaerfere Cauchy-Schwarzsche Ungleichung verwenden. Kommt alles aufs gleiche hinaus...
Das ist alles eine Frage davon, wie man es nun aufschreiben moechte...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 So 09.03.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Felix,
okay, danke nochmal für deine Hilfe!
VG, Riley
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