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subharmonische: Beweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:31 So 03.07.2005
Autor: Bastiane

Hallo!
Hier noch eine Aufgabe mit subharmonisch:

Es sei [mm] G\subset \IC [/mm] ein Gebiet. Zeige
* Falls u harmonisch ist, dann sind [mm] u^2 [/mm] und [mm] (\bruch{\partial{u}}{\partial{x}})^2+(\bruch{\partial{u}}{\partial{y}})^2 [/mm] subharmonisch.
* Falls u subharmonisch ist, und [mm] \varphi [/mm] ist convex auf einem offenen Intervall, das u(G) enthält, dann ist auch [mm] \varphi°u [/mm] subharmonisch.
* Sind [mm] \varphi_1, \varphi_2 [/mm] subharmonisch, dann ist auch [mm] max\{\varphi_1,\varphi_2\} [/mm] subharmonisch.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


        
Bezug
subharmonische: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:15 Mi 06.07.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Ich beweise zunächst den folgenden Satz (schlampe dabei ein paar Voraussetzungen, etc. aus Zeitgründen):

a) Ist $u$ harmonisch und [mm] $\varphi: [/mm] D [mm] \supset [/mm] u(G) [mm] \to \IR$ [/mm] konvex, dann ist [mm] $\varphi \circ [/mm] u$ subharmonisch.

b) Ist $u$ subharmonisch und [mm] $\varphi: [/mm] D [mm] \supset [/mm] u(G) [mm] \to \IR$ [/mm] konvex und monoton steigend, dann ist [mm] $\varphi \circ [/mm] u$ subharmonisch.


Zu a) Da $u$ harmonisch ist, genügt $u$ für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] und alle $r>0$ der Mittelwertgleichung:

$u(z) = [mm] \int\limits_0^{2\pi} u(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi}$. [/mm]

Nun folgt aus der Konvexität von [mm] $\varphi$ [/mm] mit Hilfe der Jensenschen Ungleichung:

[mm] $\varphi(u(z)) [/mm] = [mm] \varphi \left( \int\limits_0^{2\pi} u(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi} \right) \le \int\limits_0^{2\pi} \varphi(u(z+re^{it})) \frac{dt}{2\pi}$, [/mm]

also die Behauptung mit Hilfe der anderen Aufgabe.

Zu b) Da $u$ subharmonisch ist, genügt $u$ für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] und alle $r>0$ der Mittelwertungleichung:

$u(z) [mm] \le \int\limits_0^{2\pi} u(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi}$. [/mm]

Nun folgt aus der Monotonie und Konvexität von [mm] $\varphi$ [/mm] mit Hilfe der Jensenschen Ungleichung:

[mm] $\varphi(u(z)) \le \varphi \left( \int\limits_0^{2\pi} u(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi} \right) \le \int\limits_0^{2\pi} \varphi(u(z+re^{it})) \frac{dt}{2\pi}$, [/mm]

also die Behauptung mit Hilfe der anderen Aufgabe.

> Es sei [mm]G\subset \IC[/mm] ein Gebiet. Zeige
>  * Falls u harmonisch ist, dann sind [mm]u^2[/mm] und
> [mm](\bruch{\partial{u}}{\partial{x}})^2+(\bruch{\partial{u}}{\partial{y}})^2[/mm]
> subharmonisch.

Zum zweiten Teil weiß ich gerade nichts. Der erste Teil folgt aus dem obigen Satz, denn [mm] $\varphi(x)=x^2$ [/mm] ist konvex.

>  * Falls u subharmonisch ist, und [mm]\varphi[/mm] ist convex auf
> einem offenen Intervall, das u(G) enthält, dann ist auch
> [mm]\varphi°u[/mm] subharmonisch.

Die Behauptung ist im Allgemeinen falsch. Nimmt man aber [mm] $\varphi$ [/mm] zusätzlich als monoton wachsend an, dann ist dies die Behauptung b) aus dem obigen Satz.

>  * Sind [mm]\varphi_1, \varphi_2[/mm] subharmonisch, dann ist auch
> [mm]max\{\varphi_1,\varphi_2\}[/mm] subharmonisch.

Da [mm] $\varphi_1$ [/mm] und [mm] $\varphi_2$ [/mm] subharmonisch sind, genügen [mm] $\varphi_1$ [/mm] und [mm] $\varphi_2$ [/mm] für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] und alle $r>0$ der Mittelwertungleichung:

[mm] $\varphi_1(z) \le \int\limits_0^{2\pi} \varphi_1(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi}$, [/mm]

[mm] $\varphi_2(z) \le \int\limits_0^{2\pi} \varphi_2(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi}$. [/mm]

Dann folgt aber auch:

[mm] $\max(\varphi_1(z) [/mm] , [mm] \varphi_2(z)) [/mm] = [mm] \max\left( \int\limits_0^{2\pi} \varphi_1(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi}, \int\limits_0^{2\pi} \varphi_2(z+re^{it}) \frac{dt}{2\pi}\right) \le \int\limits_0^{2\pi} \max(\varphi_1(z+re^{it}),\varphi_2(z+re^{it}))\, \frac{dt}{2\pi}$. [/mm]

Daraus ergibt sich mit der anderen Aufgabe wiederum die Behauptung.

Liebe Grüße
Stefan



Bezug
                
Bezug
subharmonische: Danke.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:06 Do 07.07.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!
Vielen Dank für die Antwort!

[breakdance] [applaus] [breakdance]

Viele Grüße
Christiane
[cap]

Bezug
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