substitutionsregel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 So 27.04.2008 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Zeigen Sie
a) Ist f : [-a; a]-> [mm] \IR [/mm] eine gerade Funktion, dann ist
[mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=2\integral_{0}^{a}{f(x) dx}
[/mm]
b) Ist f : [-a; a]| -> [mm] \IR [/mm] eine ungerade Funktion, dann ist
[mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0
[/mm]
c) Berechnen Sie [mm] \integral_{-1}^{1}{x² dx}=. [/mm] Warum ist die Substitutionsregel t = x² hier nicht anwendbar ? |
Hallo,
bei a) und b) wüsste ich nicht wie ich das beweisen könnte.
bei c) habe ich 4 ausgerechnet. Die substitutionsregel kann man hier nicht anwenden, da man ein ganz anderes ergebnis bekommt wenn man t integriert oder wenn man x² integriert. Das wäre mein Argument dazu.
Also für a) und b) bräuchte ich noch hilfe.
LG Toni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 So 27.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
Berechne bei Aufgabe a.) und b.) das entsprechende Integral [mm] $\integral_{-a}^{a}{f(x) \ dx}$ [/mm] .
Verwende anschließnd die Eigenschaft für gerade bzw. ungerade Funktionen.
gerade Funktion: $f(x) \ = \ f(-x)$
ungerade Funktion: $f(x) \ = \ -f(-x)$
Zudem sollta man wissen, dass Integration einer geraden Funktion eine ungerade Funktion entsteht und umgekehrt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 So 27.04.2008 | | Autor: | Toni908 |
Hallo Loddar
[mm] \integral_{-a}^{a}{f(-x) dx}=F(a)-F(-a)=2 [/mm] F(a)
[mm] \integral_{-a}^{a}{-f(-x) dx}=-F(a)+F(-a)=0
[/mm]
meinst du es so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 So 27.04.2008 | | Autor: | Toni908 |
Hallo
ich habe aus von deinem Tipp die ungerade Funktion genommen. Dann habe ich wohl falsch integriert?
[mm] \integral_{-a}^{a}{-f(-x) dx}=F(a)+F(-a)=0
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 So 27.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
Nochmal: wo kommen denn die Minuszeichen im Integral her? Integriere zunächst und wende anschließend die Eigenschaft für gerade bzw. ungerade Funktion an.
Gruß
Loddar
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Man müsste eigentlich noch beweisen, dass das Integral einer geraden Fkt. ungerade ist und umgekehrt. Für Polynome ist das trivial, aber sonst?
Deshalb:
a) Ist f : [-a; a]-> [mm]\IR[/mm] eine gerade Funktion, dann ist
[mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}
=\integral_{-a}^{0}{f(x) dx} + \integral_{0}^{a}{f(x) dx}
=\integral_{-a}^{0}{f(-x) dx} + \integral_{0}^{a}{f(x) dx} [/mm]
(wegen f gerade)
Setze nun y=-x und damit dy=-dx , Vorzeichen bei Grenze ändert sich ebenfalls...
[mm]=\integral_{a}^{0}{f(y)(-dy)} + \integral_{0}^{a}{f(x) dx}
= - \integral_{a}^{0}{f(y)(dy)} + \integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm] jetzt Grenzen vertauschen und Vorzeichen
[mm]=\integral_{0}^{a}{f(y)(dy)} + \integral_{0}^{a}{f(x) dx}
=2* \integral_{0}^{a}{f(x)[/mm], da beide Integrale den selben Wert geben und nur andere Variablen enthalten (Puristen substituieren nochmals x=y).
b) kannst du analog berechnen, das erste Integral bekommt ein anderes Vorzeichen (jeweils) und hebt sich dann mit dem zweiten Integral auf.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wo "zauberst" Du das Minuszeichen im Integral her?
