summe -1^k(n über k) < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Mi 22.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] \sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k}.
[/mm]
Vergessen Sie nicht den Fall k=0 gesondert zu behandeln. |
Hallo liebe Gemeinde!
Also ich habe durch ausprobieren raus:
[mm] \sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k}\left\{\begin{matrix}
0 \text{\qquad(für n=0 und gerade n)} & \\
1 \text{\qquad(für ungerade n)} &
\end{matrix}\right.
[/mm]
dann hatte ich noch die überlegung
[mm] \sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n}{n \choose 2k} [/mm] - [mm] \sum_{k=0}^{n}{n \choose 2k+1} [/mm]
wie ich jetzt aber zeigen soll das meine vermutung für alle geraden bzw ungeraden n gilt da stehe ich momentan an...
Vielleicht hat wer nen Tipp!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Mi 22.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie [mm]\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k}.[/mm]
> Vergessen
> Sie nicht den Fall k=0 gesondert zu behandeln.
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Also ich habe durch ausprobieren raus:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k}\left\{\begin{matrix}
0 \text{\qquad(für n=0 und gerade n)} & \\
1 \text{\qquad(für ungerade n)} &
\end{matrix}\right.[/mm]
Nein. Für $n>0$ kommt ist die Summe immer 0.
>
> dann hatte ich noch die überlegung
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k}[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{n}{n \choose 2k}[/mm]
> - [mm]\sum_{k=0}^{n}{n \choose 2k+1}[/mm]
>
> wie ich jetzt aber zeigen soll das meine vermutung für
> alle geraden bzw ungeraden n gilt da stehe ich momentan
> an...
Tipp: [mm] \sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k} = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k(+1)^{n-k}{n \choose k}[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> > Berechnen Sie [mm]\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k}.[/mm]
> >
> Vergessen
> > Sie nicht den Fall k=0 gesondert zu behandeln.
der Hinweis war sicher, den Fall
[mm] $$\red{n=0}$$
[/mm]
gesondert zu betrachten. Dies besagt, wenn man Rainers Hinweis richtig zu verstehen weiß, dass man beachten soll, dass
[mm] $$0^n=\begin{cases} 0, & \mbox{für natürliches } n > 0 \\ 1, & \mbox{für } n =0\end{cases}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 So 26.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
meld mich erst jetzt weil ich paar tage auf urlaub war :)
ja danke vielmals leute! ihr habt beide recht ! mithilfe des binomischen lehrsatzes komme ich auf die gleiche lösung!
allerdings irritiert mich noch das, wenn ich in meinen TI-82 [mm] 0^0 [/mm] eingebe ein ERROR dabei rauskommt... ist [mm] 0^0 [/mm] als 1 definiert? wenn ja, wieso wurde das dann nicht in die standard-rechner einprogrammiert?
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Guten Abend elmanuel,
> allerdings irritiert mich noch das, wenn ich in meinen
> TI-82 [mm]0^0[/mm] eingebe ein ERROR dabei rauskommt... ist [mm]0^0[/mm] als 1 definiert? wenn ja, wieso wurde das dann nicht in die
> standard-rechner einprogrammiert?
Man definiert für [mm] a\neq0 [/mm] den Ausdruck [mm] a^0:=1 [/mm] und für [mm] k\neq0 [/mm] den Ausdruck [mm] 0^k:=0.
[/mm]
Bei [mm] 0^0 [/mm] wäre die Frage, welche von den beiden obigen Definitionen 'sinnvoller' ist, daher lässt man den Ausdruck [mm] 0^0 [/mm] üblicherweise undefiniert.
Leider gibt es immer wieder ein paar Taschenrechnermodelle, bei denen das nicht so ist. Deiner erkennt das schon richtig und gibt folgerichtig einen Error aus.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 So 26.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
ok .. dann geh ich mal [mm] 0^0 [/mm] als ungelöstes konventionsproblem aus dem weg und rechne einfach für n=0 durch einsetzen aus (ergebnis 1), die restlichen n berechne ich durch den binomischen lehrsatz und sage [mm] 0^n=0 [/mm] für n>0
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