summierbare Familien < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mo 20.07.2009 | | Autor: | ANTONIO |
| Aufgabe | | Satz: Eine Familie a = [mm] (a_i)_{i\in\IN} [/mm] ist genau dann summierbar, wenn die Reihe [mm] \summe_{i = 1}^{\infty}a_i [/mm] absolut konvergiert, und dann sind die jeweiligen Summen gleich: [mm] \summe_{i\in\IN} a_i [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] |
Hallo Forenmitglieder,
den hier nicht vorgestellten Beweis habe ich schließlich verstanden, warum wird aber der Zusatz bezüglich der Summen gemacht, ist die Identität nicht immer gegeben unnabhänig von der Summierbarkeit?
Ich bin dankbar für jeden konstruktiven Hinweis.
Grüße Antonio
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Mo 20.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Satz: Eine Familie a = [mm](a_i)_{i\in\IN}[/mm] ist genau dann
> summierbar, wenn die Reihe [mm]\summe_{i = 1}^{\infty}a_i[/mm]
> absolut konvergiert, und dann sind die jeweiligen Summen
> gleich: [mm]\summe_{i\in\IN} a_i[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_i[/mm]
>
> Hallo Forenmitglieder,
> den hier nicht vorgestellten Beweis habe ich schließlich
> verstanden, warum wird aber der Zusatz bezüglich der
> Summen gemacht, ist die Identität nicht immer gegeben
> unnabhänig von der Summierbarkeit?
Nein !
Ist z.B. $ [mm] \summe_{i = 1}^{\infty}a_i [/mm] $ konvergent, aber nicht absolut konvergent, so besagt der Riemannsche Umordnungssatz, dass man durch eine geignete Umordnung der Reihe jeden Reihenwert erhalten kann (einschl. [mm] \pm \infty)
[/mm]
FRED
> Ich bin dankbar für jeden konstruktiven Hinweis.
> Grüße Antonio
> Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Mo 20.07.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Vielen Dank, FRED, das ist mir doch glatt entfallen !
Viele Grüße
Antonio
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 So 03.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Fred,
der Zusatz
[mm]\summe_{i\in\IN} a_i[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_i[/mm]
ist nötig, weil die Summe einer Familie (linke Seite) und der Wert einer Reihe (rechte Seite) unterschiedlich definiert sind. Der Zusatz zeigt nun, daß Summe und Reihenwert übereinstimmen, wenn die Familie summierbar ist oder die Reihe absolut konvergiert .
Die in rot geschriebene Bedingung ist nach FREDs Mitteilung angehängt.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 So 03.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Fred,
>
> der Zusatz
>
> [mm]\summe_{i\in\IN} a_i[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_i[/mm]
>
> ist nötig,
nötig=notwendig ist er sowieso nicht. Er hat aber seine Berechtigung!
> weil die Summe einer Familie (linke Seite) und
> der Wert einer Reihe (rechte Seite) unterschiedlich
> definiert sind. Der Zusatz zeigt nun, daß Summe und
> Reihenwert übereinstimmen.
Das ist in Freds Antwort eigentlich mitenthalten. Denn der Reihenwert rechterhand kann existieren, ohne, dass die Summe linkerhand existiert. Anders sieht's aus, wenn die Summe linkerhand existiert: Dann existiert auch der Reihenwert rechterhand und die Summe und der Reihenwert sind gleich!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 So 03.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
>
> > Hallo Fred,
> >
> > der Zusatz
> >
> > [mm]\summe_{i\in\IN} a_i[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_i[/mm]
> >
> > ist nötig,
>
> nötig=notwendig ist er sowieso nicht. Er hat aber seine
> Berechtigung!
>
> > weil die Summe einer Familie (linke Seite) und
> > der Wert einer Reihe (rechte Seite) unterschiedlich
> > definiert sind. Der Zusatz zeigt nun, daß Summe und
> > Reihenwert übereinstimmen.
>
> Das ist in Freds Antwort eigentlich mitenthalten. Denn der
> Reihenwert rechterhand kann existieren, ohne, dass die
> Summe linkerhand existiert. Anders sieht's aus, wenn die
> Summe linkerhand existiert: Dann existiert auch der
> Reihenwert rechterhand und die Summe und der Reihenwert
> sind gleich!
Auf jeden Fall hat FRED die Frage richtig beantwortet -- und ich hatte die Frage falsch verstanden.
Die richtige Antwort müßte sein:
Wäre die Familie nicht summierbar, so wäre [mm] $\sum_{i\in\IN} a_i$ [/mm] ja gar nicht definiert, deshalb kann die Gleichung nicht unabhängig von der Summierbarkeit gelten.
Güße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 So 03.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Stellen wirs klar:
einen Reihe [mm] \sum a_i [/mm] konvergiert genau dann absolut, wenn jede ihrer Umordnungen konvergiert.
In diesem Fall konv. jede Umordnung gegen [mm] \sum a_i
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 So 03.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Stellen wirs klar:
>
> einen Reihe [mm]\sum a_i[/mm] konvergiert genau dann absolut, wenn
> jede ihrer Umordnungen konvergiert.
>
> In diesem Fall konv. jede Umordnung gegen [mm]\sum a_i[/mm]
>
Das ist klar!
Aber hier geht es um die beiden Begriffe "Summierbarkeit einer Familie" und "absolute Konvergenz einer Reihe", die unterschiedlich definiert sind. Im ersten Teil des Satzes steht, daß eine Familie mit Indexmenge [mm] $\IN$ [/mm] genau dann summierbar ist, wenn die Reihe absolut konvergiert.
Genauso ist die "Summe einer Familie" anders definiert als der Wert einer Reihe.
Im zweiten Teil des Satzes steht, daß die Summe der Familie gegebenenfalls, (das heißt, wenn die Familie summierbar ist oder die Reihe absolut konvergiert) mit dem Reihenwert übereinstimmt. Und das ist nötig, um Eigenschaften absolut konvergenter Reihen mit Hilfe der allgemeineren Theorie summierbarer Familien zu zeigen.
Hierzu gehört der Große Umordnungssatz, und als Korollare der Doppelreihensatz und das Cauchy-Produkt.
Aber auch für Anazeugs "Gleichheit von Reihen" bietet sich die Theorie summierbarer Familien an: Sei $U$ die Menge der ungeraden und $G$ die Menge der geraden natürlichen Zahlen. Sind zwei der Familien [mm] $\{a_k:k\in U\}$, $\{a_k:k\in G\}$ [/mm] und [mm] $\{a_k: k\in\IN\}$ [/mm] summierbar, so ist es auch die dritte und es gilt:
[mm] $\sum_{k\in U} a_k [/mm] + [mm] \sum_{k\in G} a_k =\sum_{k\in \IN} a_k$.
[/mm]
Dies alles habe ich aus Abschnitt 6.3 in Königsberger, Analysis I. aus dem auch der hier verhandelte Satz stammt.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 So 03.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Stellen wirs klar:
> >
> > einen Reihe [mm]\sum a_i[/mm] konvergiert genau dann absolut, wenn
> > jede ihrer Umordnungen konvergiert.
> >
> > In diesem Fall konv. jede Umordnung gegen [mm]\sum a_i[/mm]
> >
>
> Das ist klar!
>
> Aber hier geht es um die beiden Begriffe "Summierbarkeit
> einer Familie" und "absolute Konvergenz einer Reihe", die
> unterschiedlich definiert sind. Im ersten Teil des Satzes
> steht, daß eine Familie mit Indexmenge [mm]\IN[/mm] genau dann
> summierbar ist, wenn die Reihe absolut konvergiert.
>
> Genauso ist die "Summe einer Familie" anders definiert als
> der Wert einer Reihe.
>
> Im zweiten Teil des Satzes steht, daß die Summe der
> Familie gegebenenfalls, (das heißt, wenn die Familie
> summierbar ist oder die Reihe absolut konvergiert) mit dem
> Reihenwert übereinstimmt. Und das ist nötig, um
> Eigenschaften absolut konvergenter Reihen mit Hilfe der
> allgemeineren Theorie summierbarer Familien zu zeigen.
>
> Hierzu gehört der Große Umordnungssatz, und als Korollare
> der Doppelreihensatz und das Cauchy-Produkt.
>
> Aber auch für Anazeugs "Gleichheit von Reihen" bietet sich
> die Theorie summierbarer Familien an: Sei [mm]U[/mm] die Menge der
> ungeraden und [mm]G[/mm] die Menge der geraden natürlichen Zahlen.
> Sind zwei der Familien [mm]\{a_k:k\in U\}[/mm], [mm]\{a_k:k\in G\}[/mm] und
> [mm]\{a_k: k\in\IN\}[/mm] summierbar, so ist es auch die dritte und
> es gilt:
>
> [mm]\sum_{k\in U} a_k + \sum_{k\in G} a_k =\sum_{k\in \IN} a_k[/mm].
>
> Dies alles habe ich aus Abschnitt 6.3 in Königsberger,
> Analysis I. aus dem auch der hier verhandelte Satz stammt.
das alles hatte ich dort in meiner Antwort ja auch benutzt (das war aber bei mir Benutzen von Wissen, dass ich selbst mal irgendwann gelernt oder mir selbst bewiesen habe) - weil es eben meiner Meinung nach so schön ist, die natürlichen Zahlen einfach zu partitionieren in gerade und ungerade natürliche Zahlen. (Im Heuser findet man sicher auch einiges dazu...). Denn nicht ohne Grund hatte ich dort damit begonnen, dass die Ausgangsreihe absolut konvergent ist (damit "darf sie umsortiert werden" oder als summierbare Familie mit Indexmenge [mm] $\IN$ [/mm] aufgefasst werden und der Wert der Summe ist gleich...)...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 So 03.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> natürlichen Zahlen einfach zu partitionieren in gerade und
> ungerade natürliche Zahlen. (Im Heuser findet man sicher
> auch einiges dazu...). Denn nicht ohne Grund hatte ich dort
> damit begonnen, dass die Ausgangsreihe absolut konvergent
> ist (damit "darf sie umsortiert werden" oder als
> summierbare Familie mit Indexmenge [mm]\IN[/mm] aufgefasst werden
> und der Wert der Summe ist gleich...)...
Genau. Das ist mit Abstand der schönste, intuitiv klarste Weg. Und die Begründung liefert die Theorie summierbarer Familien! Im Heuser finde ich dazu nur die üblichen Aussagen über absolute Konvergenz. Summierbare Familien in Ana 1 gibt's wohl nur bei Königsberger.
Grüße
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> > natürlichen Zahlen einfach zu partitionieren in gerade und
> > ungerade natürliche Zahlen. (Im Heuser findet man sicher
> > auch einiges dazu...). Denn nicht ohne Grund hatte ich dort
> > damit begonnen, dass die Ausgangsreihe absolut konvergent
> > ist (damit "darf sie umsortiert werden" oder als
> > summierbare Familie mit Indexmenge [mm]\IN[/mm] aufgefasst werden
> > und der Wert der Summe ist gleich...)...
>
> Genau. Das ist mit Abstand der schönste, intuitiv klarste
> Weg. Und die Begründung liefert die Theorie summierbarer
> Familien! Im Heuser finde ich dazu nur die üblichen
> Aussagen über absolute Konvergenz. Summierbare Familien in
> Ana 1 gibt's wohl nur bei Königsberger.
okay. Ich dachte eigentlich, sowas im Heuser auch schon gelesen zu haben - konnte aber nicht explizit nachschauen, weil er mir hier gerade nicht vorliegt und ich nicht ganz schnell an ein Exemplar komme.
Die Theorie summierbarer Familien in Ana 1 ist auch schon etwas anspruchsvoll, wie ich finde - wenngleich das nicht heißt, dass man diesen Anspruch nicht stellen darf 
Gruß,
Marcel
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