supremum und infimum < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | f(x)=exp(x)(x²+2x-7)
Bestimme Infimum und Supremum der Funktion im Intervall [-3,3] |
f(-3)=exp(-3)(-4)
f(3)=exp(3)(8)
Behauptung:
Infimum ist =f(-3)=exp(-3)(-4) (also größte untere schranke)
Supremum ist=f(3)=exp(3)(8) (also kleinste obere Schranke)
In den übungsaufgaben, die ich bisher hatte, konnte man mit hilfe von montontie zeigen, ob es ein infimum oder supremum ist, aber bei dieser aufgabe, ist die funktion im intervall [-3,3] weder monoton steigend oder fallend
welchen anderen weg könnte man hier nehmen?
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Hallo Kreide!
Du musst noch untersuchen, ob die Funktion im genannten Intervall relative Minima bzw. Maxima hat (also Nullstellen der 1. Ableitung etc.).
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Kreide |
ok, ich habe gezeigt das es extremstellen den stellen x=-5 und x=1 gibt,
erste ist uninteressant, da es sich nicht im intercall [-3,3] befindet
Dann hab ich gezeit, dass x=1 eine Tiefstelle ist.
[mm] \Rightarrow [/mm] die behauptung, die ich im ersten thread aufgestellt hab stimmt nicht ganz. Das supremum ist richtig, aber das infimum ist f(1)=(-4)e
korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok, ich habe gezeigt das es extremstellen den stellen x=-5
> und x=1 gibt,
> erste ist uninteressant, da es sich nicht im intercall
> [-3,3] befindet
>
> Dann hab ich gezeit, dass x=1 eine Tiefstelle ist.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] die behauptung, die ich im ersten thread
> aufgestellt hab stimmt nicht ganz. Das supremum ist
> richtig, aber das infimum ist f(1)=(-4)e
>
> korrekt?
>
okay, es war [mm] $f(x)=\exp(x)(x²+2x-7)$, [/mm] und diese Funktion war auf $[-3,3]$ definiert. Wenn ich mir $f'$ angucke:
[mm] $f'(x)=\exp(x)*(x^2+2x-7)+\exp(x)*(2x+2)=\exp(x)*(x^2+4x-5)$
[/mm]
so hast Du vollkommen recht: Theoretisch kann man sich $f$ auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert denken, dann ist diese "erweiterte" Funktion, die wir auch $f$ nennen, überall diff'bar mit der obigen Ableitung auf [mm] $\IR$, [/mm] lokale Extremstellen sind an den Stellen $x=-5$ bzw. $x=1$ etc.
Ein wenig zur Theorie hier:
$f$ ist stetig auf dem Kompaktum $[-3,3]$, daher ist das Supremum sogar ein Maximum und das Infimum ein Minimum.
Du hast nun die Maximalstelle $x=3$ berechnet sowie die Minimalstelle $x=1$.
Vielleicht noch zu der Argumentation, dass $f(1)$ hier wirklich das Infimum=Minimum der Menge [mm] $M:=\{f(x): x \in [-3,3]\}$ [/mm] ist:
Wenn man sich den Graph von $f$ anguckt (Bild unten), ist das eigentlich ziemlich klar, denn im Intervall $[-3,1]$ scheint es so, dass $f$ monoton fallend (und stetig) ist, und im Intervall $[1,3]$ ist $f$ scheinbar monoton wachsend (und stetig).
Frage: Wie könnte man die "scheinbare" Monotonie formal begründen, so dass wir nicht mehr sagen müssen:
"Mithilfe des Schaubild des Graphen scheint es so, dass ..."
sondern dass wir wirklich sagen können:
"$f$ ist in $[-3,1]$ monoton fallend, und $f$ ist in $[1,3]$ monoton wachsend!"
(Tipp: Man kann dort mit der Ableitung argumentieren!)
Und das $f(3)$ wirklich das Supremum=Maximum der obigen Menge $M$ ist:
Für alle $x [mm] \in [/mm] [-3,1]$ gilt $f(x) [mm] \le [/mm] 0$, aber im Intervall $[1,3]$ ist $f$ monoton wachsend mit insbesondere $f(2) >0$.
Wenn man sich diese Sachlagen anschaut, sollte es nicht schwer sein, zu begründen, dass $f(1)$ wirklich das Infimum (und damit auch Minimum) der Menge $M$ ist und dass $f(3)$ wirklich das Supremum (und damit auch Maximum) der Menge $M$ ist.
Also Du hast das richtig erkannt, kannst es auch an dem Bild nochmal überprüfen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber ich denke, Du solltest auch Deine Ergebnisse (formal) begründen können.
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Kreide |
uuuuuuuui!!! danke für deine ausführliche Antwort!!!!! :D
> Frage: Wie könnte man die "scheinbare" Monotonie formal
> begründen, so dass wir nicht mehr sagen müssen:
> "Mithilfe des Schaubild des Graphen scheint es so, dass
> ..."
> sondern dass wir wirklich sagen können:
> "[mm]f[/mm] ist in [mm][-3,1][/mm] monoton fallend, und [mm]f[/mm] ist in [mm][1,3][/mm]
> monoton wachsend!"
> (Tipp: Man kann dort mit der Ableitung argumentieren!)
durch einsetzen erhält man:
f'(1)=0
f'(x<1) negativ
f'(x>1) positiv
>
> Und das [mm]f(3)[/mm] wirklich das Supremum=Maximum der obigen Menge
> [mm]M[/mm] ist:
> Für alle [mm]x \in [-3,1][/mm] gilt [mm]f(x) \le 0[/mm], aber im Intervall
> [mm][1,3][/mm] ist [mm]f[/mm] monoton wachsend mit insbesondere [mm]f(2) >0[/mm].
wieso hast du das so hervorgehoben, dass f(2)>0 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> uuuuuuuui!!! danke für deine ausführliche Antwort!!!!! :D
>
>
> > Frage: Wie könnte man die "scheinbare" Monotonie formal
> > begründen, so dass wir nicht mehr sagen müssen:
> > "Mithilfe des Schaubild des Graphen scheint es so, dass
> > ..."
> > sondern dass wir wirklich sagen können:
> > "[mm]f[/mm] ist in [mm][-3,1][/mm] monoton fallend, und [mm]f[/mm] ist in [mm][1,3][/mm]
> > monoton wachsend!"
> > (Tipp: Man kann dort mit der Ableitung argumentieren!)
>
> durch einsetzen erhält man:
> f'(1)=0
> f'(x<1) negativ
> f'(x>1) positiv
naja, Du hast eine sehr eigene Notation. Du solltest schreiben:
$f'(x) < 0$ für alle $-3 [mm] \le [/mm] x < 1$
bzw.
$f'(x) > 0$ für alle $1 < x [mm] \le [/mm] 3$.
Bzw. hier genügt es:
$f'(x) [mm] \le [/mm] 0$ für alle $-3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$
und
$f'(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3$.
Alternativ kannst Du natürlich auch anstatt
$f'(x) [mm] \le [/mm] 0$ für alle $-3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$
schreiben:
$f([-3,1]) [mm] \subset (-\infty,0]$ [/mm] etc.
> >
> > Und das [mm]f(3)[/mm] wirklich das Supremum=Maximum der obigen Menge
> > [mm]M[/mm] ist:
> > Für alle [mm]x \in [-3,1][/mm] gilt [mm]f(x) \le 0[/mm], aber im
> Intervall
> > [mm][1,3][/mm] ist [mm]f[/mm] monoton wachsend mit insbesondere [mm]f(2) >0[/mm].
>
> wieso hast du das so hervorgehoben, dass f(2)>0 ist?
>
Naja, im Intervall $[-3,1]$ ist $f$ monoton fallend, und im Intervall $[1,3]$ ist $f$ monoton wachsend. Weil $f$ stetig ist, wissen wir, dass (mindestens) eine Maximalstelle in [-3,3] existiert (man kann sich auch leicht mittels "stückweiser strenger" Monotonie überlegen, dass es hier genau eine gibt, wenn man beachtet, dass $f$ im Intervall $[-3,1]$ halt Werte [mm] $\le [/mm] 0$ annimmt, aber im Intervall $[1,3]$ auch Werte $>0$); aber liegt die nun in $[-3,1]$, oder aber in [1,3] (wie gesagt: hier gibt es genau eine Maximalstelle!)? Du kannst nun auch sagen, ich vergleiche wegen der "stückweise" Monotonie hier einfach $f(-3)$ mit $f(3)$, und der größere der beiden Werte wird das Maximum sein. Ich wollte anders argumentieren, meine Idee ist es, zu sagen:
Es gilt $f(x) [mm] \le [/mm] 0$ auf $[-3,1]$, und auf $[1,3]$ ist ja $f$ monoton wachsend, und da z.B. $f(2) > 0$ ist, kann die Maximalstelle nicht in $[-3,1]$ liegen, also folgt, dass $f(3)$ das Supremum=Maximum von $M$ sein muss.
Gruß,
Marcel
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