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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:47 Di 16.06.2009 | | Autor: | mini111 |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe der Ordnung 12.
a)Man bestimme die möglichen Anzahlen [mm] s_{2} [/mm] und [mm] s_{3} [/mm] der 2-Sylow-bzw. 3-Sylow-Untergruppen von G.
b)Warum kann der Fall [mm] s_{3}=4 [/mm] und [mm] s_{2}=3 [/mm] nicht eintreten?
c)Man zeige,dass im Fall [mm] s_{2}=s_{3}=1 [/mm] die Gruppe isomorph zu [mm] \IZ_{12} [/mm] oder isomorph zu [mm] \IZ_{2} \times \IZ_{6} [/mm] ist. |
hallo,
die a) habe ich verstanden.für [mm] s_{2} [/mm] folgt {1,3} da diese 3 teilen und kongruent zu 1 modulo 2 sind.für [mm] s_{3} [/mm] folgt {1,4},da diese 4 teilen und kongruent zu 1 modulo 3 sind.
aber bei der b) weiß ich nicht wirklich,wie ich das machen soll.ich weiß,dass der durchschnitt zweier verschiedener sylowgruppen ={e} ist aber inwiefern könnte mir das weiter helfen?kann es das überhaupt?
bei der c) weiß ich,dass wenn die anzahl der sylowgruppen gleich 1 ist,sie normalteiler zu der gruppe G sind.
Wäre sehr dankbar über hilfe.
Besten Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Di 16.06.2009 | | Autor: | moudi |
bei b) ist gemeint, dass nicht gleichzeitig [mm] $s_2=3$ [/mm] und [mm] $s_3=4$ [/mm] eintreten kann.
Es ist relativ einfach einzusehen, dass die Gruppe nicht nur aus 12 Elementen bestehen kann,
wenn [mm] $s_2=3$ [/mm] und [mm] $s_3=4$.
[/mm]
zu c) Betrachte je eine 2-Sylowuntergrupp N und eine 3-Sylowuntergruppe M. Weil
beide normal sind gilt G=MN, und damit ist G das direkte Produkt zweier abelschen Gruppen
und damit selber abelsch.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Di 16.06.2009 | | Autor: | mini111 |
hallo,
danke für deine antwort.bei der b) weiß ich leider immer noch nicht wie ich das lösen kann.also man soll ja zeigen dass es keine vier 3-sylowgruppen und drei 2-sylowgruppen gleichzeitig gibt.der durchschnitt zweier sylows ist {e} aber hier komm ich nicht weiter.ich komm einfacj nicht drauf.aaah....
Besten gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Di 16.06.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> danke für deine antwort.bei der b) weiß ich leider immer
> noch nicht wie ich das lösen kann.also man soll ja zeigen
> dass es keine vier 3-sylowgruppen und drei 2-sylowgruppen
> gleichzeitig gibt.der durchschnitt zweier sylows ist {e}
> aber hier komm ich nicht weiter.ich komm einfacj nicht
> drauf.aaah....
Wenn du die Elemente zählst, ergibt sich, daß die 2-Sylowgruppen die Ordnung 2 haben müssen.
Diese 3 2-Sylowgruppen sind konjugiert. Was kann man dann über den Normalisator sagen? Genauer über seinen Index in G?
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Di 16.06.2009 | | Autor: | mini111 |
Hallo
Danke nochmal aber ich verzweifel langsam ein wenig.;)Du sagst, dass die 2-sylowgruppen die ordnung 2 haben.dann wären es ja 3*2 elemente von G + dem neutralen element=7 oder?ABER:
Ich verstehe nicht warum die 2-sylowgruppen die Ordnung 2 haben weil laut dem sylow satz es doch heißt:
"....jede Untergruppe von G der ORDNUNG [mm] p^k [/mm] heißt eine p-sylowUG" somit müsste die 2-sylowgruppe hier doch die ordnung [mm] 2^2 [/mm] haben oder nicht?
Ich bin ein wenig verwirrt...:(
Besten gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Di 16.06.2009 | | Autor: | moudi |
Nehmen wir an, dass es vier 3-Sylowuntergruppen und drei 2-Sylowuntergruppen gibt.
zu b)
Da sich die vier 3-Sylowuntergruppen nur paarweise in [mm] $\{e\}$ [/mm] schneiden haben wir schon 9 Elemente gefunden.
Naemlich e und von jeder 3-Sylowuntergruppe zwei Elemente, die je die Ordnung 3 haben muessen.
Nun wenn es noch drei 2-Sylowuntergruppen der Ordnung 4 gibt, dann kommen noch mehr als 3 Elemente hinzu, deren Ordnung 2 oder 4 sein muss, diese Elemente muessen verschieden sein, von den Elementen der 3-Sylowuntergruppen. Das gibt dann total mehr als 12 Elemente, was zu einem Widerspruch fuehrt.
zu c). Wenn es je eine 2- und eine 3-Sylowuntergruppe N und M gibt, dann gilt |N|=4 und |M|=3 und beide Gruppen muessen Normalteiler sein. Dann ist wegen [mm] $N\cap M=\{e\}$ [/mm] und |N||M|=12 die Gruppe G das direkte Produkt von N und M.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Di 16.06.2009 | | Autor: | mini111 |
Super, danke!Jetzt habe ich es endlich verstanden!:))
LG
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