sym. pos. def. Matrix < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Mo 21.04.2008 | | Autor: | xMariex |
| Aufgabe | Zeigen Sie folgende Eigenschaaften einer symmetrisch positiv definiten Matrix [mm]A\in R^{n\timex n}[/mm]:
(a) [mm]a_{ii}>0[/mm] für i=1,2,...,n
(b) [mm]a_{ij}^2
(c) [mm]max_{i,j=1,2,...,n}|a_{ij}| = max_{i=1,2,...,n}a_{ii}[/mm] für i=1,2,...,n
Hinweis: Verwenden Sie spezielle Vektoren x in der quadratischen Form [mm]x^TAx[/mm].
[mm][/mm]
[mm][/mm]
[mm][/mm]
[mm][/mm] |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
ich bin oben wie folgt rangegangen:
a) Induktion nach n:
IA: n=1:
[mm](a_{11})[/mm] ist größer als 0, aber woher weiss ich das, muss ich dann nicht noch a ungleich null setzen?
IS:
[mm]A= \pmat{A_{n-1} & x \\ x^t & a_{nn}}[/mm]
[mm]A_{n-1}[/mm] ist positiv definite (n-1)-reihige Matrix.
Nach IA gibt es genau eine (n-1)reihige Matrix.
Aber wie hilft mir das weiter?
Kann ich einfach oben eine Matrix rausziehen?
b)
Auch hier bin ich für einen Beweis durch vollständige Induktion:
IA: n=1
[mm](a_{12}^2
[mm](a_{12})(a_{12})
Hier fängt schon mein Problem an, dass ich nicht weiss wieso dies kleiner ist, das ist doch nur die Multiplikation zweier Eingträge?
Grüße,
Marie
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Hallo Marie,
ich frage mich ein wenig, warum du den hinweis ignorierst... hinweise sind meistens dazu da, dass man in einer aufgabe relativ schnell zum ziel kommt.
setze doch mal verschiedene, relativ einfache vektoren fuer x ein. Kandidaten waeren zum beispiel die einheitsvektoren [mm] e_i [/mm] oder vektoren, die nur an der i-ten und j-ten stelle eine 1 haben und sonst 0 sind.
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Di 22.04.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
erstmal danke, aber wäre das dann nicht ein Beispiel und kein Beweis?
Bsp.:
[mm](1 \ 0 \ 0) \pmat{a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}} \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
[mm](a_{11} \ 0 \ 0) \vektor{1\\0\\0}[/mm]
[mm]=> a_{11}[/mm]
Das heißt aber immer noch nicht das a unbedingt größer wie null sein muss, nur das es laut Definition ungleich null ist.
Grüße,
Marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Di 22.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> erstmal danke, aber wäre das dann nicht ein Beispiel und
> kein Beweis?
Das was du machst ist ein Speziallfall, ja. Aber das war nicht gmeient.
> Das heißt aber immer noch nicht das a unbedingt größer wie
> null sein muss, nur das es laut Definition ungleich null
> ist.
Du musst [m]x^t A x[/m] betrachten. Mit deinem Bsp. ergibt das immer [m]a_{11}[/m] für [m]e_1[/m]. Und da die Matrix positiv definit ist, folgt nun was? Das musst du verallgemeinern.
Für die b): nimm eine Linearkombination, die du geschickt wählst.
SEcki
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:43 Di 22.04.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
also immer in dem Fall das x ein Einheitsvektor ist, bekommt man:
[mm]e_j=a_{jj}[/mm]
positive definite Matrizen kann ich nach Cholesky zerlegen und diese hat positive Diagonalelemente.
"Zur Berechnung derjenigen unteren Dreiecksmatrix U mit positiven Diagonalelementen für die gilt: [mm]A=U*U^T[/mm]"
In meinem Fall ist das U ja ein x, also ein Vektor keine Matrix aber das tut ja nichts zur Sache. Dann hätte ich:
[mm]\pmat{&x^t\\ x&A}[/mm]
soll ich das jetzt allgeimein ausrechnen?
Außerdem hab ich noch gefunden, das bei der Berechnung der Diagonalelemente, eine Wurzel mit bei ist, also ist mir jetzt schon einmal klar warum es nicht negativ werden kann.
Aber wie ich das Beweisen soll, weiss ich immer noch nicht so recht.
Grüße,
Marie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 24.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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