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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Mi 16.11.2005 | | Autor: | arzoo |
Hallo ich bräuchte dringend Hilfe beim Lösen dieser Aufgabe ich hoffe ihr könnt mir da weiter helfen .
Also die Aufgabe ist : Sei die sym . Differenz zweier Mengen so def:
A + B = (A \ B) <oder> (B \ A).
Überprüfen sie ob + eine assoziative operation ist und angenommen a+c = b+c folgt daraus a=b ?
Also mein Ansatz währe bei Assoziativität müsste ich ja zeigen .
A+ (B+C) = (A+B)+C oder ? Aber so kann ich es ja noch nicht lösen den jedes der steht ja für (A \ B) <oder> (B \ A). Für B + C könnte ich ja das einsetzen aber da ist ja noch ein A + davor ...also ich komme hier einfach nicht zum Ziel . Könnt ihr mir da helfen ?
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Hallo!
> Also die Aufgabe ist : Sei die sym . Differenz zweier
> Mengen so def:
> A + B = (A \ B) <oder> (B \ A).
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> Überprüfen sie ob + eine assoziative operation ist und
> angenommen a+c = b+c folgt daraus a=b ?
>
> Also mein Ansatz währe bei Assoziativität müsste ich ja
> zeigen .
>
> A+ (B+C) = (A+B)+C oder ? Aber so kann ich es ja noch nicht
> lösen den jedes der steht ja für (A \ B) <oder> (B \ A).
> Für B + C könnte ich ja das einsetzen aber da ist ja noch
> ein A + davor ...also ich komme hier einfach nicht zum Ziel
> . Könnt ihr mir da helfen ?
Also, statt dem "oder" schreibe ich mal ein [mm] \cup. [/mm] Dann gilt doch:
[mm] A+(B+C)=A\backslash(B+C)\cup(B+C)\backslash{A}
[/mm]
Du betrachtest also zuerst (B+C) als irgendeine Konstante und wendest die Definition der symmetrischen Differenz auf A und diese Konstante an. Und nun kannst du da, wo B+C steht, die Definition der symmetrischen Differenz von B und C einsetzen. Das ergibt dann:
[mm] =A\backslash(B\backslash{C}\cup C\backslash B)\cup(B\backslash{C}\cup C\backslash B)\backslash{A}
[/mm]
Das musst du dann wahrscheinlich noch irgendwie umformen. Auf der rechten Seite machst du das Gleiche (also erst wieder (A+B) als Konstante betrachten) und das formst du dann auch noch um. Dann siehst du entweder, dass beide Male das Gleiche rauskommt oder dass es unterschiedlich ist. Evtl. hilft dir bei der Vorstellung auch noch ein Bildchen (also drei Mengen, die sich schneiden, und die symmetrischen Differenzen müsstest du dann einzeichnen).
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Die symmetrische Differenz ist tatsächlich assoziativ. Es ist wahrscheinlich günstiger, wenn du die folgende äquivalente Definition zugrundelegst (ich verwende das Dreieckssymbol zur Kennzeichnung der Operation):
[mm]X \triangle Y = (X \cap \overline{Y}) \cup (\overline{X} \cap Y)[/mm]
Hier bezeichnet der Überstrich die Komplementbildung. Der Vorteil dieser Darstellung ist, daß man mit dem Schnitt und der Vereinigung distributiv rechnen kann und für das Komplement die Regeln von de Morgan zur Verfügung hat.
Zeige vorweg (dann wird der eigentliche Beweis übersichtlicher):
[mm]\overline{X \triangle Y} = \ldots = (X \cap Y) \cup (\overline{X} \cap \overline{Y})[/mm]
Und jetzt forme unter Verwendung dieser Regel um:
[mm](A \triangle B) \triangle C = \ldots = (A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) \cup (A \cap B \cap C)[/mm]
Und wenn man diesen Term betrachtet, so stellt man fest, daß der letzte Summand der Schnitt von [mm]A,B,C ist[/mm], die ersten drei Summanden Dreierschnitte mit jeweils zwei Komplementbildungen.
Jetzt berechne analog den Term [mm]A \triangle (B \triangle C)[/mm] - oder noch einfacher: Wende das Kommutativgesetz an und vertausche zyklisch: [mm]B[/mm] statt [mm]A[/mm], [mm]C[/mm] statt [mm]B[/mm], [mm]A[/mm] statt [mm]C[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Mo 21.11.2005 | | Autor: | arzoo |
Ich wollte mich nur noch Bedanken , tut mir leid , dass ich so spät antworte aber ich hatte so viel zu tun .
Danke noch mal
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