symmetrische Abbildung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien R ein Ring, M,N R-Moduln und [mm] n\in \IN. [/mm] Eine Abbildung [mm] f:M^{n} \to [/mm] N (insbesondere eine abbildung [mm] M_{n}(R) \to [/mm] R) heißt symmetrisch, wenn für alle i [mm] \in \{1,...,n-1\} [/mm] und alle [mm] m_{1},...,m_{n} \in [/mm] M die Gleichung
[mm] f(m_{1},...,m_{n})=f(m_{1},...,m_{i-1},m_{i+1},m_{i},m_{i+2},...,m_{n}) [/mm] gilt.
a) Seien [mm] f:M^{n} \to [/mm] N eine symmetrische Abbildung.Man beweise, das für alle Permutationen g aus der symmetrischen Gruppe und alle [mm] m_{1},...,m_{n} \inn [/mm] M die Gleichung
[mm] f(m_{1},...,m_{n})=f(m_{g(1)},...,m_{g(n)}) [/mm] gilt. |
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich mit dieser Aufgabe,aber komme nicht mehr weiter.
Ich weiß zunächst,dass die symmetrische Gruppe so aussieht [mm] S(X)=\{g:\{1,...n\} \to \{1,...,n\}\}.
[/mm]
Wenn die Gleichung [mm] f(m_{1},...,m_{n})=f(m_{g(1)},...,m_{g(n)}) [/mm] gilt (was zu zeigen ist), dann heißt das doch, dass g die eine identische Abbildung ist, da g(1)=1,...,g(n)=n.
Und wenn f symmetrisch ist, dann ist doch f eine Nachbarschaftstransposition, denn die i-te und i+1-te Stelle werden vertauscht.Sehe ich das richtig?
Und eigentlich folgt doch schon aus der Definition der symmetrischen Abbildung dass z.B. [mm] f(m_{1})=f(m_{1}) [/mm] ist, wenn i nicht 1 sein soll.
Also so weit bin ich gekommen, aber ich finde jetzt keinen richtigen Ansatz das zu beweisen. Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Fr 14.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Folgende Idee: Betrachte die Menge [mm]\mathfrak{M}[/mm] aller Permutationen [mm]\sigma\in S_n[/mm] von [mm]\{1,2,...,n\}[/mm] mit der Eigenschaft[mm]f(m_1,m_2,...,m_n)=f(m_{\sigma(1)}),...,f(m_{\sigma(n)}))\qquad\text{für alle }m_1,...,m_n\in M[/mm]
Nun zeige, dass [mm]\mathfrak{M}[/mm] eine Gruppe bezüglich der Verkettung von Abbildungen ist (d.h. eine Untergruppe von [mm]S_n[/mm]). Dann folgt die Behauptung einfach aus dem Fakt, dass nach Voraussetzung alle Transpositionen in [mm]\mathfrak{M}[/mm] enthalten sind und diese ganz [mm]S_n[/mm] erzeugen.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Robert,
vielen Dank für deine Idee.
> Folgende Idee: Betrachte die Menge [mm]\mathfrak{M}[/mm] aller
> Permutationen [mm]\sigma\in S_n[/mm] von [mm]\{1,2,...,n\}[/mm] mit der
> Eigenschaft[mm]f(m_1,m_2,...,m_n)=f(m_{\sigma(1)}),...,f(m_{\sigma(n)}))\qquad\text{für alle }m_1,...,m_n\in M[/mm]
>
> Nun zeige, dass [mm]\mathfrak{M}[/mm] eine Gruppe bezüglich der
> Verkettung von Abbildungen ist (d.h. eine Untergruppe von
> [mm]S_n[/mm]). Dann folgt die Behauptung einfach aus dem Fakt, dass
> nach Voraussetzung alle Transpositionen in [mm]\mathfrak{M}[/mm]
> enthalten sind und diese ganz [mm]S_n[/mm] erzeugen.
>
Also ich zeige zunächst, dass [mm] \mathfrak{M} [/mm] eine Gruppe ist.
1.Assoziativgesetz: [mm] \sigma_{1}(\sigma_{2}*\sigma_{3})=\sigma_{1}(\sigma_{2}(\sigma_{3}))=\sigma_{1}\sigma_{2}(\sigma_{3})=(\sigma_{1}\sigma_{2})(\sigma_{3}).
[/mm]
2. Neutrales Element ist [mm] id_{\sigma}
[/mm]
3. Inverses Element ist [mm] \sigma^{-1}, [/mm] also die Umkehrfunktion.
4. Abgeschlossenheit: [mm] \sigma_{1}*\sigma_{2}=\sigma_{1}(\sigma_{2}), [/mm] hier weiß ich nicht genau weiß, wie ich zeigen kann, dass Abgeschlossenheit gilt.
Damit wäre [mm] \mathfrak{M} [/mm] eine Gruppe, aber ich verstehe deine Begründung noch nicht ganz. [mm] \mathfrak{M} [/mm] ist eine Gruppe und erzeugt somit [mm] S_{n}, [/mm] aber wieso gilt deswegen auch die Gleichung
[mm] f(m_1,m_2,...,m_n)=f(m_{\sigma(1)}),...,f(m_{\sigma(n)}))\qquad\text{für alle }m_1,...,m_n\in [/mm] M, bzw. [mm] \sigma(1)=1 [/mm] usw. und [mm] \sigma(i)=i+1 [/mm] ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Sa 15.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Du hast glaube ich die Idee noch gar nicht richtig verstanden, ich habe leider gerade nicht viel Zeit deshalb nochmal ein paar Denkanstöße:
1) Die Idee ist, die Menge [mm]\mathfrak{M}[/mm] aller "guten" Bijektionen [mm]\sigma\in S_n[/mm] anzuschauen, die [mm]f(m_1,...,m_n)=f(m_{\sigma(1)},...,m_{\sigma(n)})[/mm] für alle [mm]m_1,...,m_n\in M[/mm] erfüllen. Natürlich ist unser Endziel, zu zeigen dass [mm]\mathfrak{M}[/mm] die menge aller Bijketionen [mm]S_n[/mm] ist, aber a priori wissen wir erstmal gar nichts über [mm]\mathfrak{M}[/mm], außer dass die Transpositionen [mm]\tau_{ij}[/mm] alle in [mm]\mathfrak{M}[/mm] liegen (das ist genau die Voraussetzung aus der Aufgabe, nur etwas umformuliert!).
2) Wenn wir zeigen können, dass [mm]\mathfrak{M}[/mm] abgeschlossen unter der Verkettung von Abbildungen ist, sind wir fertig, denn jede Permutation [mm]\sigma\in S_n[/mm] ist ja das Produkt endlich vieler Transpositionen!!!
(ich hatte ja erst geschrieben du sollst zeigen, dass [mm]\mathfrak{M}[/mm] eine Untergruppe von [mm]S_n[/mm] ist, aber es reicht halt tatsächlich die Abgeschlossenheit unter Komposition).
Was du also zeigen musst ist folgendes: Wenn [mm]\sigma,\tau\in\mathfrak{M}[/mm] sind, dann ist auch [mm]\sigma\circ\tau\in\mathfrak{M}[/mm], d.h. dann gilt für alle [mm]m_1,...,m_n[/mm]:
[mm]f(m_1,...,m_n)=f(m_{\sigma\circ\tau(1)}),...,f(m_{\sigma\circ\tau(n)}))[/mm]
Viel Spaß!
Robert
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| Aufgabe | b) Man beweise, dass es ganau eine multilineare symmetrische normierte Abbildung [mm] P:M_{n}(R) \to [/mm] R gibt mit [mm] P(A^{T})=P(A) [/mm] für alle A [mm] \in M_{n}(R).
[/mm]
Für A [mm] \in M_{n}(R) [/mm] heißt P(A) die Permanente von A.
Man finde eine explizite Formel für P(A) und begründe sie. |
Hallo,
ich versuche grad die b) zu mache, finde die aber ziemlich schwer.Trotzdem hab ich mal versucht irgendwie anzufange.
Also damit eine Abbildung [mm] p:M_{n}(R) \to [/mm] R mulitlinear ist, muss gelten:
[mm] p(a_{1},...,a_{i-1},r_{1}*x+r_{2}*y,a_{i+1},...,a_{n})=r_{1}*p(a_{1},...,a_{i-1},x,a_{i+1},...,a_{n})+r_{2}*p(a_{1},...,a_{i-1},y,a_{i+1},...,a_{n})
[/mm]
Damit sie symmetrisch ist, muss gelten:
[mm] p(m_1,m_2,...,m_n)=p(m_{\sigma(1)}),...,p(m_{\sigma(n)}))\qquad\text{für alle }m_1,...,m_n\in [/mm] M, wobei ich mir nicht sicher bin,ob die [mm] m_{i} [/mm] Skalare sind, oder Matrizen,denn in der Aufgabe steht m [mm] \in [/mm] M und nicht m [mm] \in M_{n}(K).
[/mm]
Und normiert: [mm] p(E)=p(e_{1},e_{2},...,e_{n})=1.
[/mm]
So und jetzt muss [mm] P(A^{T})=P(A) [/mm] gelten. Demnach kann A eigentlich nur eine Diagonalmatrix sein, denn dann ist [mm] A^{T}=A.
[/mm]
Ich find nur etwas schwer jetzt eine Abbildung zu finden,die all diese Eigenschaften hat. Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben?
Vielen Dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 So 30.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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