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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Fr 03.04.2009 | | Autor: | izzy |
| Aufgabe | Gegeben sei die symmetrische Bilinearform
[mm] s_{0} [/mm] : [mm] \IQ^{3}x\IQ^{3}, s_{0}(v,w) [/mm] := [mm] v^{T} \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }w.
[/mm]
Gegeben sei auch, dass [mm] s_{0} [/mm] zu genau einer der symmetrischen Bilinearformen [mm] s_{i}, [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,2,3} äquivalent ist, wobei [mm] s_{i}(v,w) [/mm] := [mm] v^{T }A_{i}w [/mm] mit
[mm] A_{1} [/mm] := [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 }, A_{2} [/mm] := [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 }, A_{3} [/mm] := [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & -3 }.
[/mm]
Entscheiden sie welche. Bestimmen sie eine Basis B von [mm] \IQ^{3} [/mm] so, dass [mm] M_{b}(s_{0}) [/mm] = [mm] A_{i} [/mm] für ein i [mm] \in [/mm] {1,2,3}. |
Hallo liebe Mathe-Freunde :)
Weiss jemand von euch wie die Definition einer Äquivalenz zwischen symmetrischen Bilinearformen lautet? Ich habe zwar im Internet gesucht, aber nichts gefunden.
Wäre es richtig, zu schauen, ob die Matrizen äquivalent zu einander sind? Kann mir jemand einen Ansatz geben?
lg, izzy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Fr 03.04.2009 | | Autor: | pelzig |
> Weiss jemand von euch wie die Definition einer Äquivalenz
> zwischen symmetrischen Bilinearformen lautet?
Naja, Äquivalenz zwischen Bilinearformen kann doch nur eins bedeuten: gleich bzgl. eines geeigneten Basiswechsels. In Matrizensprache: Sind A,B die Darstellungsmatrizen der beiden Bilinearformen, dann sind diese äquivalent, falls es eine invertierbare Matrix T gibt mit $T^tAT=B$.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Fr 03.04.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das mit dem Äquivalent verstehe ich auch so wie der Post oben, dass die Matrizen A und B dann ähnlich sein müssen d.h. es muss eine invertierbare Matrix T geben, so dass $B=T^-1 A T$
Da du aber eine allgemeine Bilinearform hast, gibt es hier noch eine leicht andere Definition, die du ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen kannst unter "Basiswechsel".
LG
Kroni
> Gegeben sei die symmetrische Bilinearform
> [mm]s_{0}[/mm] : [mm]\IQ^{3}x\IQ^{3}, s_{0}(v,w)[/mm] :=
> [mm]v^{T} \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }w.[/mm]
>
> Gegeben sei auch, dass [mm]s_{0}[/mm] zu genau einer der
> symmetrischen Bilinearformen [mm]s_{i},[/mm] i [mm]\in[/mm] {1,2,3}
> äquivalent ist, wobei [mm]s_{i}(v,w)[/mm] := [mm]v^{T }A_{i}w[/mm] mit
> [mm]A_{1}[/mm] := [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 }, A_{2}[/mm]
> := [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 }, A_{3}[/mm] :=
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & -3 }.[/mm]
> Entscheiden
> sie welche. Bestimmen sie eine Basis B von [mm]\IQ^{3}[/mm] so, dass
> [mm]M_{b}(s_{0})[/mm] = [mm]A_{i}[/mm] für ein i [mm]\in[/mm] {1,2,3}.
> Hallo liebe Mathe-Freunde :)
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> Weiss jemand von euch wie die Definition einer Äquivalenz
> zwischen symmetrischen Bilinearformen lautet? Ich habe zwar
> im Internet gesucht, aber nichts gefunden.
> Wäre es richtig, zu schauen, ob die Matrizen äquivalent zu
> einander sind? Kann mir jemand einen Ansatz geben?
>
> lg, izzy
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Hallo izzy!
ich muss genau die selbe Aufgabe lösen! Du musst das alternative Verfahren zur Bestimmung der Sivesterform auf die Matrix in [mm] s_{0} [/mm] anwenden, aber ohne zu normalisieren, da wir ja in [mm] \IQ [/mm] sind. Du bekommst dann ein T. Dann muss [mm] T^{t}*A*T [/mm] = B erfüllt sein.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Sa 04.04.2009 | | Autor: | izzy |
Vielen Dank für eure Hilfe!
Danke schneehasi6, ich werde es mal mit deinem Tipp versuchen. Mal schauen, ob dabei was rauskommt...
lg, izzy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Sa 04.04.2009 | | Autor: | izzy |
@schneehasi6:
hmm.... also du meinst schon dieses Verfahren hier:
- Ker(A)=Ausartungsraum berechnen
- Vektoren wählen, wobei [mm] q(v)=s(v,v)\not=0
[/mm]
Aber wenn ich [mm] ker(A_{0}) [/mm] berechne, kriege ich [mm] span{\vektor{0 \\ 0 \\ 0}}... [/mm] kann das sein?
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ja ich meine dieses Verfahren, aber wenn der [mm] Ker=\vektor{0 \\ 0\\0} [/mm] ist, darfst du ihn nicht verwenden, da sich sonst der Rang von T ändert!
als erstes musst du einfach einen Vektor v wählen, der [mm] v^{t}*B*v [/mm] = 1 erfüllt.
hier das Beispiel für A2:
Dann einen Vektor w, der orthogonal zu v ist und auch für [mm] w^{t}*B*w= [/mm] 1 ergibt.
weiter wähltst du ein u, orthogonal zu v und w und das [mm] u^{t}*B*u= [/mm] -2 erfüllt.
in rot die Eigenvektoren von A2.
dann setzt du v,w,u zusammen und hast T.
lg
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