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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Mo 19.11.2007 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Man zeige, dass die Fuktion f = 1/x und g = (x-1)/x eine Gruppe von Funktionen erzeugen, die zur symmetrischen Gruppe [mm] S_{3} [/mm] isomorph ist, wenn man als Verknüpfung die Zusammensetzung von Funktionen verwendet. |
Ich habe nicht genau verstanden, was bei dieser Aufgabe verlangt wird.
Ich habe bereits mal die Elemente ausgerechnet, welche entstehen, wenn mal als Verknüfung die Zusammensetzung von Funktionen verwendet.
Das wären diese vier:
1/x; (x-1)/x; x/(x-1); 1-x
stimmt das? und was muss ich als nächstes tun?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Johny11,
damit eine Mene mit einer Verknüpfung überhaupt eine Gruppe bildet, muß sie bzgl. der Verknüpfung "abgeschlossen" sein, d.h. Du bleibst bei Deinen Rechnungen immer in der Menge drin. Steht in Deiner Aufgabenstellung irgendwas zum Definitions-/Wertebereich von f und g?
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 19.11.2007 | | Autor: | johnny11 |
hallo zahlenspieler,
nein in der Aufgabe steht nichts vom Wertebereich und Bildbereich. Ich habe die ganze Aufgabe exakt hier hingeschrieben...
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Hallo johnny11,
die Funktionen $f,g$ erzeugen eine Untergruppe U der Bijektionen von [mm] $\IR\setminus\{0,1\}$ [/mm] in sich.
Die Verknüpfung, die hier gemeint ist, ist die Komposition/Verkettung von Funktionen.
Also [mm] $f\circ [/mm] g$, [mm] $g\circ [/mm] f$, [mm] $g\circ [/mm] g$, [mm] $f\circ [/mm] f$
Dazu musst du mal ein bisschen rechnen, was denn $f,g$ so alles erzeugen.
zB. [mm] $(f\circ g)(x)=f(g(x))=\frac{1}{\frac{x-1}{x}}=\frac{x}{x-1}$
[/mm]
Da haste schon eine neue Funktion, nennen wir sie $h$
Dann weiter [mm] $f\circ [/mm] h$, [mm] $h\circ [/mm] f$, [mm] $g\circ h\circ [/mm] f$ usw. usf.
Alle möglichen Verkettungen probieren.
Du wirst schnell merken, dass du nicht beliebig viel Neues basteln kannst, insgesamt erhältst du nicht mehr als 6 Funktionen.
(Bedenke, dass die Verkettung von Funktionen assoziativ ist...)
Das muss ja auch so sein, wenn diese Gruppe isomorph zu [mm] $S_3$ [/mm] sein soll, denn [mm] $S_3$ [/mm] enthält ja auch 6 Elemente.
Stelle am besten mal die Gruppentafeln von [mm] $S_3$ [/mm] und von deiner Untergruppe U auf.
Dann überlege, wie du explizit einen Isomorphismus von [mm] $U\to S_3$ [/mm] konstruieren kannst.
Dazu musst du geschickt jedem Element von $U$ eines aus [mm] $S_3$ [/mm] zuordnen.
Dann hättest du konstruktiv schon die Bijektivität gebastelt, du musstaber auch darauf achten, dass deine Abbildung ein Homomorphismus ist...
Also ein bisschen knobeln....
Aber erstelle erst mal die Gruppentafeln, dann siehst du schon ne Menge...
Hilft das für's erste? 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Mo 19.11.2007 | | Autor: | johnny11 |
hallo schachuzipus,
vielen dank vorerst mal.
also die 6 verschiedenen elemente habe ich unterdessen auch.
Nun werde ich also ein bisschen knobeln. 
Aber noch kurz eine andere Frage:
Gibt es eigentlich zwei isomorphe Gruppen, zwischen denen es mehr als einen Isomorphismus gibt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Di 20.11.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Aber noch kurz eine andere Frage:
> Gibt es eigentlich zwei isomorphe Gruppen, zwischen denen
> es mehr als einen Isomorphismus gibt?
Oh ja! Wenn du z. B. die Kleinsche Vierergruppe (das ist die Symmetriegruppe des Rechtecks) nimmst, dann hat die außer der Identität noch diverse andere Isomorphismen (die dann Automorphismen heißen) mit sich selbst.
Die zyklische Gruppe mit 4 Elementen hat ebenfalls einen nicht-trivialen Automorphismus.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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also die 6 Elemente sind bei mir folgende:
f, g, fg, gf, [mm] g^2, f^2.
[/mm]
Stimmen diese?
Und wie sehen nun die Elemente von [mm] S_{3} [/mm] aus?
Sind das 1, x, [mm] x^2, [/mm] y, xy, x^2y? oder liege ich da komplett falsch?
Und das mit der Gruppentafel habe ich auch noch nicht ganz begriffen. Wie müsste diese dann aussehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Do 22.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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