tangente bestimmen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Mi 29.03.2006 | | Autor: | FlorianJ |
| Aufgabe | | bestimmen sie einen wert b so, dass die gerade y=x eine Tangente an die funktion f(x) = [mm] log_{b} [/mm] x ist. |
hi zusammen. Ich denke ich muss die Tangente mit Hilfe einer Differentiation (evtl Umkehrfunktion bestimmen). hilft mir evtl die formel [mm] log_{b} [/mm] x = [mm] \bruch{1}{ln x} [/mm] * lnx weiter?
ich habe mir eine skizze gemacht, hab jedoch noch immer keine idee für einen anfang.
bin um jeden tip dankbar.
mfg florian
habe die frage nur in diesem forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Florian,
wir haben [mm] $f(x)=\log_{b}{x}=\bruch{\ln{x}}{\ln{b}}$. [/mm] Also ist [mm] $f'(x)=\bruch{1}{x\cdot\ln{b}}$.
[/mm]
Lass' uns doch zuerst mal den Punkt bestimmen, an dem die Tangente den Graphen der Funktion berühren soll. Dies muss ja ein sogenannter Fixpunkt sein, d.h. ein Punkt [mm] $P(x_0,f(x_0))=P(x_0,x_0)$
[/mm]
($x$-Komponente=$y$-Komponente).
Wir wissen, an dieser Stelle [mm] $x_0$ [/mm] muss [mm] $f'(x_0)=\bruch{1}{x_0\cdot\ln{b}}=1$ [/mm] sein,
und das gilt genau dann, wenn
(1) [mm] $x_0\cdot\ln{b}=1$.
[/mm]
Darüberhinaus wissen wir, dass [mm] $f(x_0)=x_0$ [/mm] ist, also
(2) [mm] $x_0=\bruch{\ln{x_0}}{\ln{b}}$.
[/mm]
Setzen wir (2) in (1) ein, so erhalten wir [mm] $x_0$.
[/mm]
Und aus [mm] $x_0$ [/mm] bekommst du (wieder mit Hilfe von (1)) das gesuchte $b$
(zur Kontrolle: Ich erhalte [mm] $b=e^\bruch{1}{e}=\sqrt[e]{e}\approx [/mm] 1,4447$).
Kommst du nun allein weiter? Ansonsten bitte nochmal nachfragen! 
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Mi 29.03.2006 | | Autor: | FlorianJ |
Hey yuma und danke schonmal.
Die Herangehensweise verstehe ich. Die Berechnung leider nicht so ganz.
Denn wenn ich zB [mm] \bruch{lnx}{lnb} [/mm] ableite erhalte ich [mm] \bruch{1}{x*lnb} [/mm] - [mm] \bruch{lnx}{b*lnb} [/mm] . der zweite teil taucht bei dir jedoch gar nicht auf, wo hab ich mich verrechnet? angewendet habe ich [mm] \bruch{u'v-v'u}{v^{2}}
[/mm]
woher wissen wir ausserdem, dass $ [mm] f'(x_0)=\bruch{1}{x_0\cdot\ln{b}}=1 [/mm] $ dass dies eine steigung von 1 bedeutet ist mir soweit klar, aber woher weißt du dass die steigung 1 sein wird?
wenn ich die formel (2) nun in (1) einsetze erhalte ich:
ln x0 = 1 ist das x0 dann 2,718... mit [mm] e^1
[/mm]
=> [mm] e^{\bruch{1}{2,718}} \approx [/mm] 1,4447
das würde dann ja hinhauen.
bitte nochmal eben die fragen beantworten,w enn es keine umstände macht.
ansonsten danke vielmals :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Florian,
1. [mm] $\ln{b}$ [/mm] ist eine Konstante, die beim Ableiten einfach vorgezogen wird - Quotientenregel ist demzufolge unnötig!
2. Die Gerade $y=x$ hat die Steigung $m=1$. Also muss die Funktion zumindest im Berührpunkt [mm] $(x_0,f(x_0))$ [/mm] auch die Steigung $1$ haben, d.h. [mm] $f'(x_0)=1$.
[/mm]
Jetzt klarer? Ansonsten bitte nochmal nachfragen!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Mi 29.03.2006 | | Autor: | FlorianJ |
Jup danke, alles klar =)
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