testfolge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 So 21.02.2010 | | Autor: | lalalove |
Hallo!
Ich soll [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x) mit einer speziellen und dann allgemeinen Testfolge:
f(x) = [mm] \bruch{x^{2} -x}{3x^{2}}
[/mm]
spez. Testfolge:
[mm] f(10^{n}) [/mm] = [mm] \bruch{(10^{n})^{2}}{3* 10^{n}^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}1}{\limes_{n\rightarrow\infty}3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Hab ich das so richtig aufgeschrieben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 So 21.02.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
ich verstehe deine Frage nicht ganz. Du untersuchst, ob die Funkion f für x gegen unendlich einen Grenzwert hat und setzt dazu die Werte [mm] 10^n [/mm] ein o.k. Aber deine Rechnung stimmt nicht und was soll der zweite Grenzwert?
Das Einsetzen der Testfolge kan dir ein "Gefühl" für das Verhalten der Funktion geben, aber letztlich mußt du trotzdem zeigen, dass der vermutete Grenzwert (in deinem Fall [mm] \frac{1}{3}) [/mm] auch wirklich für jede Folge angenommen wird.
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Hallo!
> Hallo!
> Ich soll [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x) mit einer
> speziellen und dann allgemeinen Testfolge:
>
> f(x) = [mm]\bruch{x^{2} -x}{3x^{2}}[/mm]
Ich weiß nicht, worauf die Aufgabe abzielt, aber mal schauen.
> spez. Testfolge:
Du nimmst jetzt also die Folge [mm] $x_{n} [/mm] = [mm] 10^{n}$, [/mm] für die gilt: [mm] $\lim_{n\to\infty}x_{n} [/mm] = [mm] \infty$.
[/mm]
> [mm] f(10^{n}) [/mm] = [mm] \bruch{(10^{n})^{2}\red{ - 10^{n}}}{3* 10^{n}^{2}}
[/mm]
Das stimmt aber nicht, du hast doch gar nicht in f eingesetzt, da fehlt der (jetzt rot eingefügte) Teil.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}1}{\limes_{n\rightarrow\infty}3}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
Das ist eine völlig überflüssige Berechnung. Der Limes einer Konstante ist immer die Konstante selbst, und [mm] \frac{1}{3} [/mm] ist bereits eine Konstante. Viel interessanter ist es, wie du eigentlich den Limes oben fertig bestimmst:
[mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_{n})$
[/mm]
$= [mm] \lim_{n\to\infty} f(10^{n})$
[/mm]
$ = [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{(10^{n})^{2} - 10^{n}}{3* 10^{n}^{2}}$
[/mm]
$= [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{1 - \frac{1}{10^{n}}}{3}$
[/mm]
Jetzt die Grenzwertsätze anwenden!
$= [mm] \frac{1}{3}*\lim_{n\to\infty}(1 [/mm] - [mm] \frac{1}{10^{n}})$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{3}*(1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^{n}})$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{3}*(1-0) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}$.
[/mm]
(Das war jetzt ganz exakt aufgeschrieben, ist eigentlich nicht nötig).
Für die allgemeine Folge darfst du nun nicht mehr etwas einsetzen, sondern du nimmst einfach an, du hast eine beliebige Folge [mm] x_{n}, [/mm] die für [mm] n\to\infty [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Die Umformungen sind im Grunde genau dieselben wie bei der speziellen Folge!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 23.02.2010 | | Autor: | lalalove |
Also ich sollte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}zunächst [/mm] mit einer speziellen testfolge und dannmit einer allgemeinen Testfolge bestimmen.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (10^{n}) [/mm] = [mm] \bruch{1-\bruch{1}{10^{n}}}{3}
[/mm]
nun soll ich den grenzwert für x -> [mm] -\infty [/mm]
berechnen.
Setze ich hier dann einfach den Grenzwert [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ins negative?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mi 24.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also ich sollte [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}zunächst[/mm] mit
> einer speziellen testfolge und dannmit einer allgemeinen
> Testfolge bestimmen.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (10^{n})[/mm] =
> [mm]\bruch{1-\bruch{1}{10^{n}}}{3}[/mm]
>
> nun soll ich den grenzwert für x -> [mm]-\infty[/mm]
> berechnen.
>
> Setze ich hier dann einfach den Grenzwert [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ins
> negative?
Ein wenig rechnen (und denken) schadet nie:
[mm] f(x)=\bruch{x^2-x}{3x^2}= \bruch{x^2(x-\bruch{1}{x})}{x^2*3}= \bruch{1-1/x}{3}
[/mm]
Für x [mm] \to \pm \infty [/mm] geht $1/x$ gegen was ? Und damit $f(x) [mm] \to [/mm] ???$ für x [mm] \to \pm \infty [/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 24.02.2010 | | Autor: | lalalove |
> > Also ich sollte [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}zunächst[/mm] mit
> > einer speziellen testfolge und dannmit einer allgemeinen
> > Testfolge bestimmen.
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (10^{n})[/mm] =
> > [mm]\bruch{1-\bruch{1}{10^{n}}}{3}[/mm]
> >
> > nun soll ich den grenzwert für x -> [mm]-\infty[/mm]
> > berechnen.
> >
> > Setze ich hier dann einfach den Grenzwert [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ins
> > negative?
>
>
>
> Ein wenig rechnen (und denken) schadet nie:
>
> [mm]f(x)=\bruch{x^2-x}{3x^2}= \bruch{x^2(x-\bruch{1}{x})}{x^2*3}= \bruch{1-1/x}{3}[/mm]
>
> Für x [mm]\to \pm \infty[/mm] geht [mm]1/x[/mm] gegen was ? Und damit [mm]f(x) \to ???[/mm]
> für x [mm]\to \pm \infty[/mm]
>
ich versteh die frage grad nicht so..
wenn ich für x ne 1 einsetze, dann ergibt es Null.
Also grenzwert= 0 ?
oder eine minus zahl damit s halt in den minus bereich kommt?
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Hi,
> > Ein wenig rechnen (und denken) schadet nie:
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{x^2-x}{3x^2}= \bruch{x^2(x-\bruch{1}{x})}{x^2*3}= \bruch{1-1/x}{3}[/mm]
>
> >
> > Für x [mm]\to \pm \infty[/mm] geht [mm]1/x[/mm] gegen was ? Und damit [mm]f(x) \to ???[/mm]
> > für x [mm]\to \pm \infty[/mm]
> >
> ich versteh die frage grad nicht so..
>
> wenn ich für x ne 1 einsetze, dann ergibt es Null.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") $\ [mm] \frac{1}{1} [/mm] = 1 [mm] \not= [/mm] 0 $ !
>
> Also grenzwert= 0 ?
> oder eine minus zahl damit s halt in den minus bereich
> kommt?
>
Welche Zahl erhältst du denn, wenn du 1 durch "unendlich große Zahlen" teilst?
Gruß
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:58 Do 25.02.2010 | | Autor: | lalalove |
> Hi,
>
>
>
> > > Ein wenig rechnen (und denken) schadet nie:
> > >
> > > [mm]f(x)=\bruch{x^2-x}{3x^2}= \bruch{x^2(x-\bruch{1}{x})}{x^2*3}= \bruch{1-1/x}{3}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Für x [mm]\to \pm \infty[/mm] geht [mm]1/x[/mm] gegen was ? Und damit [mm]f(x) \to ???[/mm]
> > > für x [mm]\to \pm \infty[/mm]
> > >
> > ich versteh die frage grad nicht so..
> >
> > wenn ich für x ne 1 einsetze, dann ergibt es Null.
>
> [mm]\ \frac{1}{1} = 1 \not= 0[/mm] !
>
> >
> > Also grenzwert= 0 ?
> > oder eine minus zahl damit s halt in den minus bereich
> > kommt?
> >
>
> Welche Zahl erhältst du denn, wenn du 1 durch "unendlich
> große Zahlen" teilst?
>
dann erhalte ich eine zahl die unter 0 ist.
Grenzwert: x < 0 ?
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> > > > [mm]f(x)=\bruch{x^2-x}{3x^2}= \bruch{x^2(x-\bruch{1}{x})}{x^2*3}= \bruch{1-1/x}{3}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Für x [mm]\to \pm \infty[/mm] geht [mm]1/x[/mm] gegen was ? Und damit [mm]f(x) \to ???[/mm]
> > > > für x [mm]\to \pm \infty[/mm]
> > > >
> > > ich versteh die frage grad nicht so..
> > >
> > > wenn ich für x ne 1 einsetze, dann ergibt es Null.
> >
> > [mm]\ \frac{1}{1} = 1 \not= 0[/mm] !
> >
> > >
> > > Also grenzwert= 0 ?
> > > oder eine minus zahl damit s halt in den minus
> bereich
> > > kommt?
> > >
> >
> > Welche Zahl erhältst du denn, wenn du 1 durch "unendlich
> > große Zahlen" teilst?
> >
> dann erhalte ich eine zahl die unter 0 ist.
Hallo,
es geht doch gerade darum, was mit [mm] \bruch{1}{x} [/mm] passiert, wenn das x, welches man einsetzt, unendlich groß wird.
Wenn ich jetzt überhaupt nicht wüßte, was ich tun soll und was da raus kommt, dann würd' ich mal mit meinem Taschenrechner probieren und riesige Zahlen einsetzen.
Hast Du das mal gemacht?
Oder anders: Du hast einen Apfel, mit welchem Du die Menschheit speisen möchtest. Wieviel bekommt jeder? (Jetzt bitte keine Geschichten aus der Bibel bringen...)
Und nun sollte Dir doch intuitiv [mm] \lim{x\to\infty}\bruch{1}{x} [/mm] klar sein.
Wenn dies der Fall ist - keinesfalls vorher! - überlege Dir, was sich ändert, wenn Du ganz betragsgroße negative Zahlen für x einsetzt.
Das ist dann der Grenzwert für x gegen [mm] (\to) -\infty.
[/mm]
Jetzt zu Deiner Aufgabe.
Du sollst ja sagen, was der Grenzwert von [mm] f(x)=\bruch{x^2-x}{3x^2} [/mm] für [mm] x\to \infty [/mm] ist, was also passiert, wenn Du gaaaaaaaanz große Zahlen einsetzt.
Anschaulich: was passert mit dem Graphen der Funktion, wenn man ganz weit rechts schaut?
Es ist, wie dies ja auch bei Dir in der Schule gefordert ist, ungemein hilfreich, wenn man dies erstmal mit irgendeiner Testfolge ausprobiert.
Du hattest Dich für die Folge [mm] (10^n) [/mm] entschieden, und herausgefunden, daß der Grenzwert [mm] \lim_{n\to\infty}f(10^n)=\bruch{1}{3} [/mm] ist.
Das ist hilfreich, denn Du weißt nun schonmal, was Du als nächstes bei [mm] \lim_{x\to \infty}f(x) [/mm] herausbekommen möchtest.
(Ich nehme bei sowas immer erstmal ganz heimlich die Testfolge (n), und berechne f(n) für möglichst große n. Meist bekommt man so raus, was der Grenzwert sein wird.)
Wenn Du bei Funktionen wie [mm] f(x)=\bruch{x^2-x}{3x^2} [/mm] den Grenzwert berechnen möchtest bzw. solltst, gibt es ein Kochrezept, welches Du Dir ab heute am bestem (nein: unbedingt!) merkst: "Dividiere oben und unten alles durch die höchste Potenz, die vorkommt."
Konkret: die höchste Potenz in Deinem Beispiel ist [mm] x^2. [/mm] Jetzt dividierst Du den Zähler und Nenner durch [mm] x^2, [/mm] das ergibt
[mm] f(x)=\bruch{x^2-x}{3x^2}=f(x)=\bruch{\bruch{x^2}{x^2}-\bruch{x}{x^2}}{\bruch{3x^2}{x^2}}=\bruch{1-\bruch{1}{x}}{3}.
[/mm]
Von dem Ausdruck, den Du nun bekommst, kannst Du ganz leicht den Grenzwert sagen, denn für große x lauft [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gegen 0, und Du erhältst
[mm] \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\bruch{1-\bruch{1}{x}}{3}=\bruch{1-0}{3}=\bruch{1}{3}
[/mm]
Am besten probierst Du das rezept mal an einem ähnlichen Beispiel aus Deinem Buch aus.
Gruß v. Angela
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