total Differentierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Tina3 |
Hallo!
Ich möchte gerne wissen ob f(x,y)=Wurzel(Betrag von xmaly) (sorry weiß nicht wie ich das richtig schreiben soll) total diffbar ist in (0,0). weiß irgedwie nicht richtig wie ich in diesem fall mit dem betrag umgehen soll. mir fehlt halt irgendwie der ansatz wär nett wenn mir jemand einen tipp geben könnte.
danke schonmal
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
> Ich möchte gerne wissen ob f(x,y)=Wurzel(Betrag von xmaly)
> (sorry weiß nicht wie ich das richtig schreiben soll) total
> diffbar ist in (0,0). weiß irgedwie nicht richtig wie ich
> in diesem fall mit dem betrag umgehen soll. mir fehlt halt
> irgendwie der ansatz wär nett wenn mir jemand einen tipp
> geben könnte.
> danke schonmal
Du möchtest also wissen, ob [mm] $f(x,y)=\sqrt{|x*y|}$ [/mm] total differenzierbar ist in $(0,0)$.
Zunächst:
Was ist [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(0,0)$? [/mm] Was ist [mm] $\frac{\partial}{\partial y}f(0,0)$? [/mm] Was ist daher [mm] $\mbox{grad}f(0,0)$?
[/mm]
Nun schau' Dir mal Satz 20.1 in folgendem Skriptum an:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Nun betrachte mal die Richtung [mm] $r=\frac{1}{\sqrt{2}}*(1,1)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. [/mm]
Hier wäre:
[mm] $\partial_r f(0,0)=\lim_{t \to 0}\frac{f\left(t*\frac{\sqrt{2}}{2},t*\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\sqrt{\frac{t^2}{2}}}{t}$
[/mm]
Mit [mm] $\sqrt{t^2}=|t|$ [/mm] tauchen hier zwei Probleme auf:
1.) Wenn man [mm] $\partial_r f(0,0)^+:=\lim_{t \to 0^+}\frac{f\left(t*\frac{\sqrt{2}}{2},t*\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-f(0,0)}{t}$ [/mm] berechnet, erhält man was anderes, wie wenn man
[mm] $\lim_{t \to 0^-}\frac{f\left(t*\frac{\sqrt{2}}{2},t*\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-f(0,0)}{t}$
[/mm]
berechnet.
(Um evtl. Bezeichnungs-Unklahrheiten vorzubeugen:
Es ist
[mm] $\lim_{t \to 0^+}=\lim_{t \to 0 \mbox{ und }t > 0}$
[/mm]
sowie
[mm] $\lim_{t \to 0^-}=\lim_{t \to 0 \mbox{ und }t < 0}$.)
[/mm]
Mit anderen Worten:
Die Richtungsableitung [mm] $\partial_r [/mm] f(0,0)$ existiert schon gar nicht.
(Aber nach Satz 20.1 müsste sie existieren!)
(Strenggenommen darf ich übrigens oben eigentlich nicht:
[mm] $\partial_r f(0,0)=\lim_{t \to 0}\frac{f\left(t*\frac{\sqrt{2}}{2},t*\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-f(0,0)}{t}$
[/mm]
schreiben, sondern müsste argumentativ z.B. so vorgehen:
Wegen
[mm] $\lim_{t \to 0^+}\frac{f\left(t*\frac{\sqrt{2}}{2},t*\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-f(0,0)}{t} \not=\lim_{t \to 0^-}\frac{f\left(t*\frac{\sqrt{2}}{2},t*\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-f(0,0)}{t}$
[/mm]
folgt, dass [mm] $\lim_{t \to 0}\frac{f\left(t*\frac{\sqrt{2}}{2},t*\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-f(0,0)}{t}$ [/mm] und damit auch [mm] $\partial_r [/mm] f(0,0)$ nicht existiert!)
(Hier könnte man die Aufgabe übrigens eh schon als beendet betrachten, denn, wie gesagt, wir erhalten einen Widerspruch zu Satz 20.1, wenn wir annehmen, dass $f$ in $(0,0)$ total diff'bar sei. Das folgende nur als ergänzende Argumentation, die man sich auch sparen kann.)
2.) Selbst, wenn man sich von 1.) nicht beeindrucken läßt und dort einfach nur mal [mm] $\partial_r f(0,0)^{+}=\lim_{t \to 0^+}\frac{f\left(t*\frac{\sqrt{2}}{2},t*\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-f(0,0)}{t}$ [/mm] berechnet und ohne zu denken annimmt, dass schon
[mm] $\partial_r f(0,0)=\partial_r f(0,0)^{+}$ [/mm] gelten würde:
Dann bekäme man einen Widerspruch zu der Aussage aus Satz 20.1 oben.
Denn:
Was ist nach obiger Rechnung [mm] $\partial_r f(0,0)^{+}$? [/mm] Unter der Annahme, dass [mm] $\partial_r [/mm] f(0,0)$ existierte, müsste dann insbesondere [mm] $\partial_r f(0,0)=\partial_r f(0,0)^{+}$ [/mm] gelten und wegen Satz 20.1 auch:
[mm] $\partial_r f(0,0)=\mbox{grad} f(0,0)*\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T$.
[/mm]
(Beachte, dass im obigen Skriptum der Gradient als Zeilenvektor definiert wurde, siehe auch Definition 19.8.)
Insgesamt erhält man dann aber einen Widerspruch! Ich hoffe, Du erkennst die Argumentation bei 2.) auch, denn ein wenig Arbeit will ich Dir auch noch überlassen  Ggf. lasse ich mich aber auch nochmal dazu breitschlagen, es komplett zu erklären, wenn Du es gar nicht erkennen solltest.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Tina3 |
Hallo! Also erstmal Danke für die schnelle Antwort, also erstmal zu 1) mir ist die Argumentation klar und diesen Satz kannte ich auch jedoch wär ich nicht auf die Idee gekommen mir einfach mal diese Richtung auszusuchen kann man das irgendwie schnell sehen? Vorallem stammt die Aufgabe aus einem Zwischenprüfungsprotokoll und während einem der Professor auf die Finger schaut kann man ja nicht erstmal ewig rumprobieren bis man eine Antwort gibt?
Zu2) Die Idee ist mir auch klar jedoch muss ich gestehen hab ich probleme den Gradienten zu bestimmen da ich doch auch irgendwie bei den partiellen ableitungen darauf achten muss, ob jetzt in dem Betrag was positives oder negatives steht, also muss ja verschiedene Fällle betrachten und steh dann irgendwie auf dem Schlauch. Vielleicht kannst du mir da nochmal helfen und mir das erklären?
Lieben gruß tina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tina,
> Hallo! Also erstmal Danke für die schnelle Antwort, also
> erstmal zu 1) mir ist die Argumentation klar und diesen
> Satz kannte ich auch jedoch wär ich nicht auf die Idee
> gekommen mir einfach mal diese Richtung auszusuchen kann
> man das irgendwie schnell sehen?
ehrlich gesagt: nein. Man muss halt gewisse Sätze im Kopf haben und gucken, ob man das möglichst schnell überprüfen kann, ob diese gelten und Anwendung finden, oder ob man damit nicht weiterkommt. Ich dachte anfangs sogar, dass die Funktion in $(0,0)$ diff'bar sei, aber als ich mir die partiellen Ableitungen angesehen habe, so waren diese unstetig in $(0,0)$. Die Stetigkeit der part. Ableitungen in dem Punkt wäre zwar nur hinreichend, aber dann hatte ich vermutet, dass die Funktion wohl nicht total diff'bar in $(0,0)$ sei. Und da dachte ich mir:
Gut, man gucke sich mal die Richtungsableitungen an...
> Vorallem stammt die
> Aufgabe aus einem Zwischenprüfungsprotokoll und während
> einem der Professor auf die Finger schaut kann man ja nicht
> erstmal ewig rumprobieren bis man eine Antwort gibt?
Naja, man kann, wenn man keine Ahnung hat, ja wenigstens schonmal sagen, was man weiß. Zum Beispiel:
"Hm, die Funktion ist schonmal stetig in $(0,0)$. Das ist notwendig für die Diff'barkeit."
"Ich guck' mal, ob die partiellen Ableitungen existieren und stetig in $(0,0)$ sind...."
Da wird der Prof. sicher fragen, warum Du das tust bzw. welchen Satz Du gerne anwenden würdest. Also ich kam erst auf die Idee mit der Richtungsableitung, als mir klar war: Die Funktion ist stetig in $(0,0)$, daher könnte sie dort schonmal total diff'bar sein. Die partiellen Ableitungen sind unstetig in $(0,0)$, also muss ich was anderes finden. Und dann dachte ich halt an Richtungsableitungen und nach etwas "rechnen" mit der - meiner Meinung nach - naheliegenden Richtung des normierten Richtungsvektors im ersten Quadranten der $45$°-Gerade durch den Ursprung (das ist ja gerade [mm] $r=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$) [/mm] kam ich zu diesem Ergebnis.
Und wenn Du eine solche Aufgabe zu lösen hast und dabei die anderen Sätze erwähnst, denke ich, dass das eher Pluspunkte als Minuspunkte gibt. Wenn Du allerdings hier sagen würdest: "Mhm, die Funktion ist unstetig in $(0,0)$ und daher nicht total diff'bar...", dann wäre das Unfug, denn die Funktion ist offensichtlich stetig in $(0,0)$. Mit anderen Worten:
Erst sagen, welchen Satz Du prüfen möchtest (vll. sagt der Prof. dann auch schon: "Damit werden Sie nicht weiterkommen") und dann gucken, dass Du danach keinen Unfug erzählst
> Zu2) Die Idee ist mir auch klar jedoch muss ich gestehen
> hab ich probleme den Gradienten zu bestimmen da ich doch
> auch irgendwie bei den partiellen ableitungen darauf achten
> muss, ob jetzt in dem Betrag was positives oder negatives
> steht, also muss ja verschiedene Fällle betrachten und steh
> dann irgendwie auf dem Schlauch. Vielleicht kannst du mir
> da nochmal helfen und mir das erklären?
Ja, den Gradienten an der Stelle $(0,0)$ muss man "von Hand" bestimmen. Dazu brauchst Du die partiellen Ableitungen von $f$ in $(0,0)$, also die Richtungsableitungen in Richtung [mm] $r_1=(1,0)$ [/mm] und [mm] $r_2=(0,1)$.
[/mm]
(Es gilt ja [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(0,0)=\partial_{r_1}f(0,0)$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial}{\partial y}f(0,0)=\partial_{r_2}f(0,0)$).
[/mm]
Ich rechne Dir mal [mm] $\partial_{r_1}f(0,0)$ [/mm] vor:
[mm] $\partial_{r_1}f(0,0)=\lim_{t \to 0}\frac{f(t*(1,0))-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\sqrt{|t*0|}-\sqrt{|0*0|}}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{0}{t}=0$
[/mm]
(Bei [mm] $\lim_{t \to 0}$ [/mm] gilt immer insbesondere $t [mm] \not=0$.)
[/mm]
Analog für [mm] $\frac{\partial}{\partial y}f(0,0)$.
[/mm]
Damit ist dann [mm] $\mbox{grad} [/mm] f(0,0)=(0,0)$.
Und bei [mm] $\partial_r f(0,0)^+=\lim_{t \to 0^+}\frac{f(t*r)-f(0,0)}{t}$ [/mm] solltest Du (trivialerweise) dann
[mm] $\partial_r f(0,0)^+=\frac{\sqrt{2}}{2}$ [/mm] (bzw. [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}$) [/mm] erhalten haben.
Übrigens ein einfaches Analogon:
Wenn Du [mm] $f(x)=|x|=\sqrt{x^2}$ [/mm] auf Differenzierbarkeit in der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] untersuchst, dann ist das für [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] keine große Kunst. Die rechtsseitige Ableitung in [mm] $x_0=0$ [/mm] kannst Du aber auch berechnen, diese berechnest Du ja mittels
[mm] $\frac{f(t)-f(0)}{t}$
[/mm]
für $t > 0$ und läßt dann dieses $t > 0$ gegen $0$ laufen, also quasi mittels der Definition über den Differenzenquotienten für rechtsseitige Ableitung. Oben geht man halt vollkommen analog mittels der Definition dieses Quotienten bei Richtungsableitungen vor.
Übrigens: Für Punkte [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] mit [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] und [mm] $y_0 \not=0$ [/mm] könnte man [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)$ [/mm] einfacher berechnen (bei [mm] $f(x,y)=\sqrt{|x*y|}$), [/mm] da wir dann Voraussetzungen hätten, wo wir mit der Kettenregel diff'barer Funktionen etc. argumentieren könnten. Aber für quasi alle Punkte auf der $x$-Achse bzw. auf der $y$-Achse müßte man die partielle Ableitung jeweils "von Hand" nachrechnen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Tina3 |
Danke dass du dir soviel Mühe gibst!Und tut mir leid das jetzt gleich schon wieder eine Frage kommt aber möchte das gerne jetzt einmal komplett verstehen und da ich in dir gerade jemanden gefunden hab der es mir erklären kann nutz ich das natürlich aus 
Also1)
Zur stetigkeit der funktion in (0,0) muss doch dann das epsilon-delta Kriterium überprüfen oder? hab da immer mit den abschätzungen Probleme also konkret frage mich ob ich sagen kann dass Wurzel(Betrag von x.y) kleiner gleich [mm] Wurzel(x^2+y^2) [/mm] kann nämlich irgendwie nicht begründen dass das gilt wäre aber schön für meine abschätzung.
2) um zu zeigen, dass die partiellen ableitungen nicht stetig sind in (0,0) muss ich jetzt ja erstmal (wie du auch schon gesagt hast) mit der kettenregel die ableitungen an den anderen Punkten finden da ich aber ja auch die innere ableitung also bertag(x.y) irgenwann ableiten will muss ich ja wissen ob das innerhalb des Betrages jetzt positiv oder negativ ist und somit ja mehrere Fälle betrachten sobald betrag irgendwo auftaucht tu ich mich immer schwer!
also ich mein meiner meinung nach hätte man dann ja zb für die erste partielle ableitung
im punkt (0,0) 0
im punkt (x,y) mit x<0 und y>0 (oder umgekehrt) bei der inneren ableitung nacher ein minus
im Punkt (x,y) mit x<0, y<0 oder x>0, y>0 bei der inneren ableitung ein plus
und wenn y=0 oder y=0 müsst ich das ja noch überprüfen
hab probleme damit also wenn ich die partielle ableitungen habe und ich will dann unstetigkeit in (0,0) zeigen reicht es doch wenn ich eine folge finde die gegen (0,0) läuft aber eingesetzt in die partielle ableitung (nur frage dann in welche,da ich ja irgenwie auf mehrere komme?) nicht gegen 0 läuft,also den wert den die partielle ableitung bei 0 hat.
tut mir wirklich leid,dass ich dich mit wahrscheinlich so banalen fragen belästige aber hoffe halt dass mir dass dann alles mal klar wird.
Lieben gruß tina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tina,
> Danke dass du dir soviel Mühe gibst!Und tut mir leid das
> jetzt gleich schon wieder eine Frage kommt aber möchte das
> gerne jetzt einmal komplett verstehen und da ich in dir
> gerade jemanden gefunden hab der es mir erklären kann nutz
> ich das natürlich aus
> Also1)
> Zur stetigkeit der funktion in (0,0) muss doch dann das
> epsilon-delta Kriterium überprüfen oder? hab da immer mit
> den abschätzungen Probleme also konkret frage mich ob ich
> sagen kann dass Wurzel(Betrag von x.y) kleiner gleich
> [mm]Wurzel(x^2+y^2)[/mm] kann nämlich irgendwie nicht begründen dass
> das gilt wäre aber schön für meine abschätzung.
also wenn Du das mit [mm] $\varepsilon$-$\delta$ [/mm] machen willst:
Zu jedem gegebenem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ musst Du ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ angeben können, so dass aus [mm] $|(x,y)-(0,0)|=|(x,y)|=||(x,y)||_2 [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] dann folgt, dass $|f(x,y)-f(0,0)|$, was hier einfach [mm] $\sqrt{|xy|}$ [/mm] ist, dann $< [mm] \varepsilon$ [/mm] ist. Wie könnte man dann das [mm] $\delta$ [/mm] wählen?
(Tipp bzw. eher Wink mit dem Zaunpfahl: $|x| [mm] \le ||(x,y)||_2$ [/mm] und $|y| [mm] \le ||(x,y)||_2$ [/mm] liefert
[mm] $\sqrt{|xy|} \le \sqrt{||(x,y)||_2^2}=||(x,y)||_2.$)
[/mm]
Du kannst aber auch einfach zeigen, dass für jede Folge [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (0,0)$ gilt, dass [mm] $f(x_n,y_n) \to [/mm] 0=f(0,0)$.
(Beachte: [mm] $||(x_n,y_n)||_2 \to [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] $ [mm] $x_n \to [/mm] 0$ und [mm] $y_n \to [/mm] 0$.)
> 2) um zu zeigen, dass die partiellen ableitungen nicht
> stetig sind in (0,0) muss ich jetzt ja erstmal (wie du auch
> schon gesagt hast) mit der kettenregel die ableitungen an
> den anderen Punkten finden da ich aber ja auch die innere
> ableitung also bertag(x.y) irgenwann ableiten will muss ich
> ja wissen ob das innerhalb des Betrages jetzt positiv oder
> negativ ist und somit ja mehrere Fälle betrachten sobald
> betrag irgendwo auftaucht tu ich mich immer schwer!
> also ich mein meiner meinung nach hätte man dann ja zb für
> die erste partielle ableitung
> im punkt (0,0) 0
> im punkt (x,y) mit x<0 und y>0 (oder umgekehrt) bei der
> inneren ableitung nacher ein minus
> im Punkt (x,y) mit x<0, y<0 oder x>0, y>0 bei der inneren
> ableitung ein plus
> und wenn y=0 oder y=0 müsst ich das ja noch überprüfen
>
> hab probleme damit also wenn ich die partielle ableitungen
> habe und ich will dann unstetigkeit in (0,0) zeigen reicht
> es doch wenn ich eine folge finde die gegen (0,0) läuft
> aber eingesetzt in die partielle ableitung (nur frage dann
> in welche,da ich ja irgenwie auf mehrere komme?) nicht
> gegen 0 läuft,also den wert den die partielle ableitung bei
> 0 hat.
> tut mir wirklich leid,dass ich dich mit wahrscheinlich so
> banalen fragen belästige aber hoffe halt dass mir dass dann
> alles mal klar wird.
Berechne mal die partiellen Ableitungen in einem Punkt [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] mit sowohl [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] als auch [mm] $y_0 \not=0$ [/mm] (Du kannst dies auch erstmal für [mm] $x_0 [/mm] > 0$ und [mm] $y_0 [/mm] > 0$ tun). Vielleicht siehst Du dann selbst schon etwas
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 So 23.03.2008 | | Autor: | Tina3 |
Hallo!
ok das mit der stetigkeit ist klar!
Zum anderen:Also wenn ich zb nach x ableite mit x>0 y>0 erhalte ich y/Wurzel(Betragx.y) wenn ich dann die folge (1/n,1/n) nehme läuft die gegen 1/2 und nicht gegen 0 womit dann die unstetigkeit gezeigt wäre oder?
Aber nochmal zum verständnis beim ableiten mit bertrag
wenn ich jetzt die partielle ableitung nach x generell angeben sollte könnte ich das?
Also ich hätte dann irgenwie das so aufgeteilt
x>0 u. y>0 sowie x<0 y<0 y/Wurzel(Betragx.y)
und
x<0 u. y>0 sowie umgekehrt -y/Wurzel(Betragx.y)
ja und wenn eins von beiden oder beide null dann 0
sind die oberen abgeleitet so eigentlich richtig also ich denk mir immer bei der inneren ableitung also der ableitung von Betrag(x.y) dass wenn x.y positiv ist ich den betrag einfach weglasse und nach x ableite (und komme so auf y und wenn x.y negativ ich statt betrag schreibe -(x.y) (und komme so wenn ich ableite auf -y) so ist der betrag doch fdefiniert oder?
oder hab ich einfach anstatt minus und plus beim zähler bertag(y) stehen? das verunsichert mich irgendwie andauernd!?
Lieben Gruß tina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 So 23.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tina,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bitte versuche doch auch, unseren Formeleditor zu verwenden. Das ist so schwer nicht...
Denn so ist dein Artikel nur schwer lesebar.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:53 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tina,
> ok das mit der stetigkeit ist klar!
> Zum anderen:Also wenn ich zb nach x ableite mit x>0 y>0
> erhalte ich y/Wurzel(Betragx.y)
fast, für [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] mit [mm] $x_0 [/mm] > 0$ und [mm] $y_0 [/mm] > 0$ gilt
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)=\frac{1}{\blue{2}*\sqrt{x_0y_0}}*y_0=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{y_0}}{\sqrt{x_0}}$ $(\*)$
[/mm]
Ich nehme aber an, dass das obige Deinerseits eher ein Schreibfehler ist, denn unten taucht bei Dir doch der Faktor [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] in relevanter Weise wieder auf.
(Dass Du nun $(x,y)$ anstatt [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] schreibst, ist irrelevant, ich bevorzuge die Schreibweise mit dem Index $0$, weil ich ja die partielle Ableitung in dem Punkt berechne, und der Punkt wird dabei festgehalten!)
> wenn ich dann die folge
> (1/n,1/n) nehme läuft die gegen 1/2
Bitte genau das sagen, was Du meinst. Ich weiß, was Du eigentlich sagen willst, aber eigentlich schreibst Du hier etwas Unfug:
Denn:
Die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}:\equiv\left(\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\right)_{n \in \IN}$ [/mm] läuft sicher nicht gegen [mm] $\frac{1}{2}$, [/mm] sondern gegen den Punkt $(0,0) [mm] \in \IR^2$. [/mm] Was Du meinst, ist, dass die zugehörige Folge der Funktionswerte der partiellen Ableitung [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f$, [/mm] d.h. [mm] $\left(\frac{\partial}{\partial x}f(a_n)\right)_{n \in \IN}$ [/mm] immer konstant [mm] $=\frac{1}{2}$ [/mm] ist (nach obiger Rechnung [mm] $(\*)$, [/mm] wobei man beachte: bei Punkten [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] mit [mm] $x_n=y_n=\frac{1}{n}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ist insbesondere immer [mm] $x_n [/mm] > 0$ und [mm] $y_n [/mm] > 0$) und somit auch insbesondere gegen [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] und daher nicht gegen [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(0,0)$ [/mm] läuft, denn wir hatten gesehen:
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(0,0)=0$ [/mm] (und ist damit [mm] $\not=\frac{1}{2}=\lim_{n \to \infty} \frac{\partial}{\partial x}f(a_n)$, [/mm] obwohl [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n=(0,0)$)
[/mm]
Damit ist [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f$ [/mm] nicht stetig in $(0,0)$. Genauso erkennst Du auch die Unstetigkeit von [mm] $\frac{\partial}{\partial y}f$ [/mm] in $(0,0)$.
> und nicht gegen 0 womit
> dann die unstetigkeit gezeigt wäre oder?
> Aber nochmal zum verständnis beim ableiten mit bertrag
> wenn ich jetzt die partielle ableitung nach x generell
> angeben sollte könnte ich das?
Ja, denn mache Dir einfach folgendes klar:
Für alle $(x,y)$ mit $xy > 0$ gilt [mm] $f(x,y)=\sqrt{xy}$. [/mm] Jetzt könnte man meinetwegen sagen:
1. Fall: [mm] $x_0 [/mm] > 0$ und [mm] $y_0 [/mm] > 0$. Überlege Dir, dass die partielle Ableitung von $f$ nach $x$ im Punkte [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] existiert und dass man sie eben so, wie in [mm] $(\*)$ [/mm] getan, berechnen kann. Die Überlegung der Existenz sollte man halt einmal durchgeführt haben. Und dann kannst Du sofort folgern:
Im Falle [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] mit [mm] $x_0<0$ [/mm] und [mm] $y_0<0$ [/mm] geht das genauso.
Dann kannst Du sagen:
In Analogie erkennt man die Existenz der partiellen Ableitungen in Punkten [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] mit [mm] $x_0y_0<0$ [/mm] und berechnet diese ebenso analog, wobei man beachte:
$xy < 0$ liefert [mm] $f(x,y)=\sqrt{-xy}$, [/mm] und dann wäre (wenn [mm] $x_0y_0<0$)
[/mm]
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)=\frac{1}{2\sqrt{-x_0y_0}}*(-y_0)=\frac{-y_0}{2\sqrt{|x_0y_0|}}$ [/mm]
> Also ich hätte dann irgenwie das so aufgeteilt
> x>0 u. y>0 sowie x<0 y<0 y/Wurzel(Betragx.y)
> und
> x<0 u. y>0 sowie umgekehrt -y/Wurzel(Betragx.y)
Naja, das sind eigentlich unnötige Fallunterscheidungen. Denn anstatt der beiden Fälle
1.) [mm] $x_0 [/mm] > 0$ und [mm] $y_0 [/mm] > 0$
2.) [mm] $x_0 [/mm] < 0$ und [mm] $y_0 [/mm] < 0$
nimmt man einfacher einfach den Fall [mm] $x_0y_0 [/mm] > 0$ (dieser gilt ja genau dann, wenn 1. oder 2. gilt), und die anderen beiden von Dir aufgezählten Fälle hätte man in dem Fall [mm] $x_0y_0 [/mm] < 0$ enthalten. Anstatt der 4 Fälle, wo Du dann erkennen solltest, dass bei 2 von denen (nämlich die, die in obigem Sinne "zusammengehören") eh immer das gleiche rauskommt, hat man dann nur die zwei Fälle:
1. Fall: [mm] $x_0y_0>0$
[/mm]
2. Fall: [mm] $x_0y_0<0$
[/mm]
> ja und wenn eins von beiden oder beide null dann 0
> sind die oberen abgeleitet so eigentlich richtig also ich
> denk mir immer bei der inneren ableitung also der ableitung
> von Betrag(x.y) dass wenn x.y positiv ist ich den betrag
> einfach weglasse und nach x ableite (und komme so auf y und
> wenn x.y negativ ich statt betrag schreibe -(x.y) (und
> komme so wenn ich ableite auf -y) so ist der betrag doch
> fdefiniert oder?
> oder hab ich einfach anstatt minus und plus beim zähler
> bertag(y) stehen? das verunsichert mich irgendwie
> andauernd!?
Ehrlich gesagt verwirrt mich Deine Ausdrucksweise ein wenig und es ist mir zu spät, dass nochmal genauer durchzulesen ^^
Ich sag's mal so:
Wie wir [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(0,0)$ [/mm] berechnet haben, ist Dir ja klar. Ich hätte es da auch schon direkt ein wenig allgemeiner machen können:
Wir berechnen mal [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)$, [/mm] wenn [mm] $x_0=0$ [/mm] oder [mm] $y_0=0$ [/mm] (wobei letztgenanntes genau dann gilt, wenn [mm] $x_0y_0=0$).
[/mm]
Dass man hier nicht einfach sowas ähnliches wie in [mm] $(\*)$ [/mm] schreiben kann
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)=\frac{1}{\blue{2}\cdot{}\sqrt{x_0y_0}}\cdot{}y_0$,
[/mm]
liegt unter anderem daran, dass einem Voraussetzungen fehlen (im Wesentlichen liegt es daran, dass $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$ [/mm] nicht diff'bar in [mm] x_0=0 [/mm] ist). Eine weitere Problematik wäre, dass man so durch [mm] $\sqrt{x_0y_0}$ [/mm] teilen würde, was hier aber wegen [mm] $x_0y_0=0$ [/mm] dann [mm] $\sqrt{0}=0$ [/mm] wäre.
Also gehen wir wieder über den Differenzenquotient (das heißt Richtungsableitung von $f$ im Punkte [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] berechnen, wobei die Richtung eben [mm] $r_1=(1,0)$ [/mm] ist):
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)=\lim_{t \to 0} \frac{f((x_0,y_0)+t*r_1)-f(x_0,y_0)}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\sqrt{|(x_0+t)y_0|}-0}{t}$
[/mm]
[mm] $=\lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{|t||y_0|}}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\sqrt{|y_0|}}{\mbox{sgn}(t)*\sqrt{|t|}}$ $(\*\*)$
[/mm]
Beachte dabei, dass [mm] $x_0y_0=0$ [/mm] war. Hier erkennt man, dass im Falle [mm] $x_0y_0=0$ [/mm] dann [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)$ [/mm] genau dann existiert, wenn [mm] $y_0=0$, [/mm] und in diesem Fall (also falls [mm] $y_0=0$) [/mm] gilt:
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)=\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,0)=0$
[/mm]
(Für [mm] $|y_0| [/mm] > 0$ hat man in [mm] $(\*\*)$ [/mm] zum einen nichts endliches, zum anderen hat man auch noch das Problem, dass der linksseitige Grenzwert (der [mm] $-\infty$ [/mm] wäre) etwas anderes ergäbe als der rechtsseitige (der wäre [mm] $=+\infty$).)
[/mm]
Mit anderen Worten:
1.) [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)=\frac{y_0}{2*\sqrt{|x_0y_0|}}=\frac{y_0}{2*\sqrt{x_0y_0}}$, [/mm] falls [mm] $x_0y_0 [/mm] > 0$
2.) [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)=\underbrace{\blue{-}}_{\mbox{Achtung!!!}}$ $\frac{y_0}{2*\sqrt{|x_0y_0|}}=\frac{-y_0}{2*\sqrt{-x_0y_0}}$, [/mm] falls [mm] $x_0y_0 [/mm] < 0$
3.) [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)=0$, [/mm] falls [mm] $y_0=0$.
[/mm]
(Also insbesondere gilt 3. auch im Punkte [mm] $(x_0,y_0)=(0,0)$.)
[/mm]
4.) In allen Punkten [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] mit [mm] $x_0=0$ [/mm] und [mm] $y_0 \not=0$ [/mm] gilt: [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)$ [/mm] existiert nicht!
Analoges gilt natürlich auch für die partielle Ableitung nach $y$.
Gruß,
Marcel
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