totale Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte die totale Ableitung f'(a) für alle a [mm] \in [/mm] D der Funktion
f :D [mm] \to \IR^2 [/mm] mit
D := [mm] \{ \vektor{x \\ y} \in \IR^2 | x > 0, y >0 \}
[/mm]
f(x,y) := [mm] (\vektor{log(xy) \\ \bruch{1}{x}})
[/mm]
berechnen.
Ich habe da als Ergebnis errechnet:
[mm] f'(x,y)=\pmat{\bruch{1}{x} & \bruch{1}{y} \\ -\bruch{1}{x^2} & 0}
[/mm]
Ist das richtig?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:00 Di 15.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Alles O.K.
FRED
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Hallo Fred,
super. Danke. Und habe ich die totale Ableitung von
g(x,y) := [mm] \vektor{\bruch{1}{xy} \\ e^y}
[/mm]
auch richtig berechnet?
[mm] g'(\vektor{x\\y})=\pmat{-\bruch{y}{(xy)^2} & -\bruch{x}{(xy)^2} \\ 0 & e^y}
[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Es geht nämlich darum, dass ich für diese beiden Funktion f und g
nun die totale Ableitung (f [mm] \circ [/mm] g)'(a) für alle a [mm] \in [/mm] D
mit der Kettenregel berechen möchte.
f :D [mm] \to \IR^2 [/mm] mit
D := [mm] \{ \vektor{x \\ y} \in \IR^2 | x > 0, y >0 \}
[/mm]
f(x,y) := [mm] (\vektor{log(xy) \\ \bruch{1}{x}})
[/mm]
[mm] f'(x,y)=\pmat{\bruch{1}{x} & \bruch{1}{y} \\ -\bruch{1}{x^2} & 0}
[/mm]
Ich habe da als Ergebnis errechnet:
[mm] f'(x,y)=\pmat{\bruch{1}{x} & \bruch{1}{y} \\ -\bruch{1}{x^2} & 0}
[/mm]
Da habe ich dann das raus:
[mm] =\pmat{e^y & \bruch{1}{xy} \\ -\bruch{1}{x^2} & 0} \pmat{-\bruch{y}{(xy)^2} & -\bruch{x}{(xy)^2} \\ 0 & e^y}
[/mm]
[mm] =\pmat{-\bruch{e^y *y}{(xy)^2} & -\bruch{(e^y)^2*x^2y}{(xy)^2} \\ \bruch{y}{x^2*(xy)^2} & \bruch{x}{x^2*(xy)^2}}
[/mm]
Habe ich da Fehler gemacht?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Di 15.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Ableitung von g ist richtig.
Was Du allerdings hier
$ [mm] =\pmat{e^y & \bruch{1}{xy} \\ -\bruch{1}{x^2} & 0} \pmat{-\bruch{y}{(xy)^2} & -\bruch{x}{(xy)^2} \\ 0 & e^y} [/mm] $
machst, verstehe ich nicht.
FRED
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Hallo Fred,
> Was Du allerdings hier
>
> [mm]=\pmat{e^y & \bruch{1}{xy} \\ -\bruch{1}{x^2} & 0} \pmat{-\bruch{y}{(xy)^2} & -\bruch{x}{(xy)^2} \\ 0 & e^y}[/mm]
>
> machst, verstehe ich nicht.
Das soll
(f [mm] \circ [/mm] g)'(a) für alle [mm] a\in [/mm] D sein.
Also
(f [mm] \circ g)'(\vektor{x\\y})=f'(g(\vektor{x\\y}))*g'(\vektor{x\\y}
[/mm]
[mm] =\pmat{e^y & \bruch{1}{xy} \\ -\bruch{1}{x^2} & 0} \pmat{-\bruch{y}{(xy)^2} & -\bruch{x}{(xy)^2} \\ 0 & e^y}
[/mm]
Ist das falsch?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Di 15.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Wie Du auf die erste Matrix in obigem Produkt kommst, ist mir nicht klar!
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Di 15.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Fred,
das hatte ich so gemacht
[mm] \pmat{g(y) & g(x) \\ 1. part Ableitung f & 2. part Ableitung f}
[/mm]
Ist wohl falsch
Danke für Tipps,
Anna
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Hallo,
ich grübel ob ich das vielleicht nicht richtig verstanden habe,
wie man das macht, also diese 1. Matrix bei der Verkettung
(wenn denn meine Lösung falsch ist).
Kennt irgendjemand eine gute Erklärung dazu im Netz?
(Oder kann es mir hier noch einmal kurz erklären)
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Di 15.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Rechne doch mal
[mm] f'(g(\vektor{x\\y}))
[/mm]
langsam und vorsichtig aus
FRED
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Hallo,
also neuer Versuch:
[mm] f'(g(\vektor{x\\y})) [/mm] =
[mm] f'(\vektor{\bruch{1}{xy} \\ e^y} )=\pmat{\bruch{1}{\bruch{1}{xy}} & \bruch{1}{e^y} \\ -\bruch{1}{(\bruch{1}{xy})^2} & 0}
[/mm]
Wie sieht das jetzt aus?
Danke,
Anna
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Hallo Anna,
> Hallo,
>
> also neuer Versuch:
>
> [mm]f'(g(\vektor{x\\y}))[/mm] =
> [mm]f'(\vektor{\bruch{1}{xy} \\ e^y} )=\pmat{\bruch{1}{\bruch{1}{xy}} & \bruch{1}{e^y} \\ -\bruch{1}{(\bruch{1}{xy})^2} & 0}[/mm]
>
> Wie sieht das jetzt aus?
Deutlich besser 
Beseitige noch die blöden Doppelbrüche und multipliziere $g'(x,y)$ von rechts dran, dann hast du's...
>
> Danke,
> Anna
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
ja. Ich sehe es ein. Deutlich besser 
Noch eine blöde Frage, aber habe ich so
[mm] \pmat{\bruch{1}{\bruch{1}{xy}} & \bruch{1}{e^y} \\ -\bruch{1}{(\bruch{1}{xy})^2} & 0} [/mm] = [mm] \pmat{xy & \bruch{1}{e^y} \\ -(xy)^2 & 0} [/mm]
die Doppelbrüche richtig eliminiert?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Di 15.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Yep ...
Gruß
Loddar
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Hallo,
bestimmt habe ich wieder irgendwo einen Rechenfehler.
Aber ich habe nun für die totale Ableitung (f [mm] \circ [/mm] g)'(a)
[mm] =\pmat{ -\bruch{xy^2}{(xy)^2} & -\bruch{x^2 y(xy)^2}{(xy)^4} \\ \bruch{(xy)^2*y}{(xy)^2} & \bruch{(xy)^2x}{(xy)^2} }
[/mm]
Danke,
Anna
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> bestimmt habe ich wieder irgendwo einen Rechenfehler.
> Aber ich habe nun für die totale Ableitung (f [mm]\circ[/mm]
> g)'(a)
> [mm]=\pmat{ -\bruch{xy^2}{(xy)^2} & -\bruch{x^2 y(xy)^2}{(xy)^4} \\ \bruch{(xy)^2*y}{(xy)^2} & \bruch{(xy)^2x}{(xy)^2} }[/mm]
Das sieht bis auf den Eintrag [mm] $a_{12}$ [/mm] richtig aus, kürze aber bitte mal ausgiebig, da kann man doch so einiges raushauen.
Für den Eintrag [mm] $a_{12}$ [/mm] habe ich aber [mm] $xy\cdot{}\left(-\frac{x}{(xy)^2}\right)+\frac{1}{e^y}\cdot{}e^y=-\frac{1}{y}+1$ [/mm] raus, vllt. rechnst du da nochmal nach bzw. vor, vllt. habe ich mich ja auch verrechnet
>
>
>
> Danke,
> Anna
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus ,
> > Aber ich habe nun für die totale Ableitung (f [mm]\circ[/mm]
> > g)'(a)
> > [mm]=\pmat{ -\bruch{xy^2}{(xy)^2} & -\bruch{x^2 y(xy)^2}{(xy)^4} \\ \bruch{(xy)^2*y}{(xy)^2} & \bruch{(xy)^2x}{(xy)^2} }[/mm]
>
> Das sieht bis auf den Eintrag [mm]a_{12}[/mm] richtig aus, kürze
> aber bitte mal ausgiebig, da kann man doch so einiges
> raushauen.
Also
[mm] \bruch{(xy)^2*y}{(xy)^2} [/mm] = y
[mm] \bruch{(xy)^2x}{(xy)^2} [/mm] = x
Sollte man
[mm] -\bruch{xy^2}{(xy)^2} [/mm]
auch noch kürzen?
> Für den Eintrag [mm]a_{12}[/mm] habe ich aber
> [mm] xy\cdot{}\left(-\frac{x}{(xy)^2}\right)+\frac{1}{e^y}\cdot{}e^y
[/mm]
Das habe ich auch
[mm] =-\frac{1}{y}+1
[/mm]
Das habe ich nicht. Wie kommst Du zu dieser Kürzung?
[mm] xy\cdot{}\left(-\frac{x}{(xy)^2}\right)+\frac{1}{e^y}\cdot{}e^y [/mm]
= [mm] xy\cdot{}\left(-\frac{x}{(xy)^2}\right)+1
[/mm]
Wie kommst Du von da auf
[mm] =-\frac{1}{y}+1 [/mm] ?
Gruß,
Anna
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![[baeh]](/images/smileys/baeh.gif "[baeh]"){kind=small}
![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
