totale Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seig g: [mm] \IR^{3}\rightarrow \IR [/mm] def. durch: g(a,b,c) = [mm] \begin{cases} \bruch{a^{4}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}, & \mbox{für } (a,b,c) \not= (0,0,0) \\ 0, & \mbox{für } (a,b,c)=(0,0,0) \end{cases}
[/mm]
(a) Beweise, dass g ist stetig part. diff.bar ist und (b) bestimme die totale Ableitung von g. |
Hi,
Aufgabe (a) Mein Problem ist die stetigkeit zu zeigen (ich weiss nicht wie ich das machen soll)
für (a,b,c) [mm] \not= [/mm] (0,0,0) ist das ja klar.
Und ich würde jetzt Behaupten, dass die part.Ableitung im Punkt (0,0,0) jeweils wieder 0 ist.
So, jetzt muss ich noch zeigen, dass die drei part. Ableitungen stetig sind.
Mal das Bsp.
[mm] \bruch{\delta g}{\delta b}=\bruch{-2a^{4}b}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} [/mm] für (a,b,c) [mm] \not= [/mm] (0,0,0) und 0 für (a,b,c) = (0,0,0)
Für (a,b,c) [mm] \not= [/mm] (0,0,0) ist dies klar, da die Addition, Multiplikation und das Dividieren und derren Kompositionen stetig sind.
Für (a,b,c) [mm] \not= [/mm] (0,0,0):
Sei [mm] (a,b,c)_{n} [/mm] eine Nullfolge, dann ist zz. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-2_{n}a^{4}b_{n}}{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}} [/mm] = 0
Nun weiss ich nicht weiter.
Langt es zu prüfen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-2a_{n}^{4}b}{a_{n}^{2}+b^{2}+c^{2}}=0 [/mm] für b=c=0 und die anderen beiden möglichkeiten halt auch noch prüfen (b=a=0 und a=c=0)
Hier wäre ich über einen Hinweis sehr dankbar!
Zu Aufgabe (b)
Da schreibe ich doch einfach nur die Jacobi-Matrix auf, die ja hier eine (1x3)-Matrix ist, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Di 06.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Seig g: [mm]\IR^{3}\rightarrow \IR[/mm] def. durch: g(a,b,c) =
> [mm]\begin{cases} \bruch{a^{4}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}, & \mbox{für } (a,b,c) \not= (0,0,0) \\ 0, & \mbox{für } (a,b,c)=(0,0,0) \end{cases}[/mm]
>
> (a) Beweise, dass g ist stetig part. diff.bar ist und (b)
> bestimme die totale Ableitung von g.
> Hi,
>
> Aufgabe (a) Mein Problem ist die stetigkeit zu zeigen (ich
> weiss nicht wie ich das machen soll)
> für (a,b,c) [mm]\not=[/mm] (0,0,0) ist das ja klar.
> Und ich würde jetzt Behaupten, dass die part.Ableitung im
> Punkt (0,0,0) jeweils wieder 0 ist.
>
> So, jetzt muss ich noch zeigen, dass die drei part.
> Ableitungen stetig sind.
> Mal das Bsp.
> [mm]\bruch{\delta g}{\delta b}=\bruch{-2a^{4}b}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}[/mm]
Das stimmt nicht ! Richtig:
[mm]\bruch{\partial g}{\partial b}=\bruch{-2a^{4}b}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^2}[/mm]
> für (a,b,c) [mm]\not=[/mm] (0,0,0) und 0 für (a,b,c) = (0,0,0)
>
> Für (a,b,c) [mm]\not=[/mm] (0,0,0) ist dies klar, da die Addition,
> Multiplikation und das Dividieren und derren Kompositionen
> stetig sind.
>
> Für (a,b,c) [mm]\not=[/mm] (0,0,0):
> Sei [mm](a,b,c)_{n}[/mm] eine Nullfolge, dann ist zz.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-2_{n}a^{4}b_{n}}{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}}[/mm]
> = 0
> Nun weiss ich nicht weiter.
> Langt es zu prüfen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-2a_{n}^{4}b}{a_{n}^{2}+b^{2}+c^{2}}=0[/mm]
> für b=c=0 und die anderen beiden möglichkeiten halt auch
> noch prüfen (b=a=0 und a=c=0)
Nein , das langt nicht
>
> Hier wäre ich über einen Hinweis sehr dankbar!
>
>
> Zu Aufgabe (b)
> Da schreibe ich doch einfach nur die Jacobi-Matrix auf,
> die ja hier eine (1x3)-Matrix ist, oder?
Ja
FRED
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> > Seig g: [mm]\IR^{3}\rightarrow \IR[/mm] def. durch: g(a,b,c) =
> > [mm]\begin{cases} \bruch{a^{4}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}, & \mbox{für } (a,b,c) \not= (0,0,0) \\ 0, & \mbox{für } (a,b,c)=(0,0,0) \end{cases}[/mm]
>
> >
> > (a) Beweise, dass g ist stetig part. diff.bar ist und (b)
> > bestimme die totale Ableitung von g.
> > Hi,
> >
> > Aufgabe (a) Mein Problem ist die stetigkeit zu zeigen (ich
> > weiss nicht wie ich das machen soll)
> > für (a,b,c) [mm]\not=[/mm] (0,0,0) ist das ja klar.
> > Und ich würde jetzt Behaupten, dass die part.Ableitung
> im
> > Punkt (0,0,0) jeweils wieder 0 ist.
> >
> > So, jetzt muss ich noch zeigen, dass die drei part.
> > Ableitungen stetig sind.
> > Mal das Bsp.
> > [mm]\bruch{\delta g}{\delta b}=\bruch{-2a^{4}b}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}[/mm]
>
>
> Das stimmt nicht ! Richtig:
>
> [mm]\bruch{\partial g}{\partial b}=\bruch{-2a^{4}b}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^2}[/mm]
oh ja, Kettenregel richtig ausführen :)
>
>
>
> > für (a,b,c) [mm]\not=[/mm] (0,0,0) und 0 für (a,b,c) = (0,0,0)
> >
> > Für (a,b,c) [mm]\not=[/mm] (0,0,0) ist dies klar, da die Addition,
> > Multiplikation und das Dividieren und derren Kompositionen
> > stetig sind.
> >
> > Für (a,b,c) [mm]\not=[/mm] (0,0,0):
> > Sei [mm](a,b,c)_{n}[/mm] eine Nullfolge, dann ist zz.
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-2_{n}a^{4}b_{n}}{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}}[/mm]
> > = 0
> > Nun weiss ich nicht weiter.
> > Langt es zu prüfen, dass
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-2a_{n}^{4}b}{a_{n}^{2}+b^{2}+c^{2}}=0[/mm]
> > für b=c=0 und die anderen beiden möglichkeiten halt auch
> > noch prüfen (b=a=0 und a=c=0)
>
> Nein , das langt nicht
>
Hmm, okay.
Aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-2a_{n}^{4}b_{n}}{(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2})^{2}}=0 [/mm] ist schon der richtige Ansatz oder?
Hast du nicht doch einen Tipp für mich?
> >
> > Hier wäre ich über einen Hinweis sehr dankbar!
> >
> >
> > Zu Aufgabe (b)
> > Da schreibe ich doch einfach nur die Jacobi-Matrix auf,
> > die ja hier eine (1x3)-Matrix ist, oder?
>
> Ja
>
>
> FRED
[mm] \bruch{-2a_{n}^{4}b_{n}}{(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2})^{2}} \le \bruch{-2a_{n}^{4}b_{n}}{a_{n}^{4}}=-2b_{n} \rightarrow [/mm] 0
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Moin an Alle,
die Frage beschäftigt mich immernoch
Ich hatte nur vergessen die Zeit richtig einzustellen, werde mich aber wohl erst am Donnerstagabend weiter damit beschäftigen.
edit: gelöst
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 11.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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