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Forum "Schul-Analysis" - trennung von variablen
trennung von variablen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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trennung von variablen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Fr 28.01.2005
Autor: arni5789

hallo,

bin neu hier und hoffe, dass mir hier jemand bei folgendem problem helfen kann:
die funktion q(t) soll bestimmt werden mit hilfe der trennung der variablen.
R*(dq/dt) + (1/C)*q =  [mm] u_{0} [/mm]
wobei R,C und  [mm] u_{0} [/mm] konstant sind.
kann mir bitte jemand den lösungsweg zeigen?
danke
-axel-
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
trennung von variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Fr 28.01.2005
Autor: KaiAhnung

Hallo.

[mm]R\cdot{}q'(t)+\frac{1}{C}\cdot{}q(t)=u_0[/mm]
[mm]R\cdot{}q'(t)=-\frac{1}{C}\cdot{}q(t)+u_0[/mm]
I [mm]R\cdot{}q'(t)=-\frac{1}{C}\cdot{}(q(t)-C\cdot{}u_0)[/mm]

Nun kann man folgende Substitution machen:
II [mm]r(t)=q(t)-C\cdot{}u_0[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]r'(t)=q'(t)[/mm]

Eingesetzt in I ergibt sich:
[mm]R\cdot{}r'(t)=-\frac{1}{C}\cdot{}r(t)[/mm]
[mm]R\cdot{}\frac{r'(t)}{r(t)}=-\frac{1}{C}[/mm]
[mm]\frac{r'(t)}{r(t)}=-\frac{1}{RC}[/mm]

Nun integriert man nach dt.

[mm]\ln(r(t))=-\frac{1}{RC}t+k[/mm] (k soll die Integrationskonstante sein)
[mm]r(t)=e^{-\frac{1}{RC}t+k}[/mm]
III [mm]r(t)=e^{-\frac{1}{RC}t}\cdot{}e^k[/mm]
Setzt man nun t=0 ein, so ergibt sich
[mm]r(0)=e^k[/mm]
Weiterhin gilt durch II
[mm]r(0)=q(0)-C\cdot{}u_0[/mm]
IV [mm]e^k=q(0)-C\cdot{}u_0[/mm]

Nun setzt man II und IV in III ein:

[mm]q(t)-C\cdot{}u_0=e^{-\frac{1}{RC}t}\cdot{}(q(0)-C\cdot{}u_0)[/mm]
Dann wird noch nach der gesuchten Funktion q(t) umgestellt:
[mm]q(t)=e^{-\frac{1}{RC}t}\cdot{}(q(0)-C\cdot{}u_0)+C\cdot{}u_0[/mm]

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

MfG
Jan

Bezug
                
Bezug
trennung von variablen: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Fr 28.01.2005
Autor: KaiAhnung

Hallo nochmal.

Die Lösung erscheint mir zwar richtig, aber ich bin nicht ganz sicher ob der Lösungsweg der geforderte ist (Ich weiss nicht was man unter Trennung der Variablen versteht).

MfG
Jan

Bezug
                        
Bezug
trennung von variablen: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:30 Sa 29.01.2005
Autor: arni5789

vielen dank!
hat mir echt weiter geholfen.

danke

Bezug
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